Questão 13. Resolva os seguintes PVI y^prime & =k(a-x)(b-y) y(0) & =0 onde, a, b>0 são constantes. (Resp. ln |1-yb|= k x(x2-a))

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI y'=k(a-x)(b-y) com y(0)=0. O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis, então vamos precisar reconhecer como separar y de x e integrar cada lado.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todo termo em y de um lado e todo termo em x do outro. Ficamos com:
[\frac{dy}{b-y} = k(a-x),dx]

Passo 3

Agora integramos cada lado. Do lado esquerdo temos:
[\int \frac{dy}{b-y} = -\ln\lvert b-y\rvert + C_1]
Do lado direito:
[\int k(a-x),dx = k\Bigl(ax - \tfrac{x^2}{2}\Bigr) + C_2]
Como ambos os lados podem diferir por uma constante, escrevemos:
[-\ln\lvert b-y\rvert = k\Bigl(ax - \tfrac{x^2}{2}\Bigr) + C]

Passo 4

Multiplicamos por -1 e reagrupamos a constante:
[\ln\lvert b-y\rvert = -k\Bigl(ax - \tfrac{x^2}{2}\Bigr) + C

Resposta

ln|1-yb| = kx(x2 - a)

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