Questão 13. Resolva os seguintes PVI onde, são constantes. (Resp. k x(x2-a))
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI y'=k(a-x)(b-y) com y(0)=0. O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis, então vamos precisar reconhecer como separar y de x e integrar cada lado.
Passo 2
Separamos as variáveis colocando todo termo em y de um lado e todo termo em x do outro. Ficamos com:
[\frac{dy}{b-y} = k(a-x),dx]
Passo 3
Agora integramos cada lado. Do lado esquerdo temos:
[\int \frac{dy}{b-y} = -\ln\lvert b-y\rvert + C_1]
Do lado direito:
[\int k(a-x),dx = k\Bigl(ax - \tfrac{x^2}{2}\Bigr) + C_2]
Como ambos os lados podem diferir por uma constante, escrevemos:
[-\ln\lvert b-y\rvert = k\Bigl(ax - \tfrac{x^2}{2}\Bigr) + C]
Passo 4
Multiplicamos por -1 e reagrupamos a constante:
[\ln\lvert b-y\rvert = -k\Bigl(ax - \tfrac{x^2}{2}\Bigr) + C