Encontre y^prime=d yd x diferenciando implicitamente.
y+ln (x^2+y^2)=4

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y + lnl(x^2+y^2r) = 4
e pede y' = dydx. O conteúdo é diferenciação implícita e uso da regra da cadeia para a função logarítmica.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo, a derivada de y é y' e, usando a regra da cadeia, a derivada de lnl(x^2+y^2r) é
1x^2+y^2cdotddx(x^2+y^2) =1x^2+y^2l(2x + 2y,y'r)
Do lado direito a derivada de 4 é 0. Logo
y' + 2x + 2y,y'x^2+y^2 = 0

Passo 3

Para isolar y', multiplicamos tudo por (x^2+y^2):
(x^2+y^2),y' + 2x + 2y,y' = 0
Agora agrupamos os termos em y':
y'l(x^2+y^2 + 2yr) + 2x = 0

Passo 4

Isolando y':
y'l(x^2+y^2 + 2yr) = -2x Longrightarrow y' = -2xx^2 + y^2 + 2y

Resposta

y' = -2xx^2 + y^2 + 2y

Exercícios relacionados