Calcule os limites infinitos
d) lim x 2 x-4x^2-x-2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite quando x tende a 2 da função f(x)=x-4x^2-x-2. O conteúdo é limites infinitos (vertical asymptotes) e vamos precisar fatorar o denominador e analisar o sinal das expressões para descobrir se o valor cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2-x-2. Sabemos que x^2-x-2=(x-2)(x+1). Assim a função fica
x-4x^2-x-2=x-4(x-2)(x+1)

Passo 3

Em seguida, avaliamos o numerador em x=2: temos 2-4=-2, que é um valor finito e negativo. Já o denominador em x=2 é zero, pois 2-2=0. Isso sinaliza que perto de x=2 a função tende a um comportamento infinito (±∞).

Passo 4

Agora, para saber se é +∞ ou −∞, vemos o sinal de cada fator quando x se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita. Para x<2 (por exemplo 1.9):
  • x-2<0
  • x+1>0
  • Numerador x-4<0
    Logo o quociente é negativonegativocdotpositivo=negativonegativo=positivo, e como o denominador fica muito próximo de zero, o valor cresce para +∞.

Passo 5

Para x>2 (por exemplo 2.1):
  • x-2>0
  • x+1>0
  • Numerador x-4<0
    Então o quociente é negativopositivocdotpositivo=negativo, e com o denominador pequeno em módulo, o valor tende a −∞.

Passo 6

Portanto, têm-se os limites laterais:
limxto2^-x-4x^2-x-2=+infty
limxto2^+x-4x^2-x-2=-infty
Como os dois não coincidem, o limite bilateral em x=2 não existe.

Resposta

limxto2^-x-4x^2-x-2=+infty, limxto2^+x-4x^2-x-2=-infty e o limite bilateral não existe.

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