Estude com relação a extremantes globais e locais a função f(x, y)=
x^2+y^2+sin (x+2 y),

Passo 1

O enunciado pede o estudo dos extremos (locais e globais) da função f(x,y)=x{2}+y{2}+
sin(x+2y). Vamos usar conteúdo de cálculo multivariável: achar pontos críticos (
abla f=0), classificar via Hessiana e analisar o comportamento no infinito.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero.
fx=2x+cos(x+2y)
fy=2y+2cos(x+2y)
O sistema fx=0 e fy=0 é
2x+cos(x+2y)=02y+2cos(x+2y)=0,
que vamos resolver.

Passo 3

Do sistema obtemos duas relações:
De 2x+cos(x+2y)=0 vem cos(x+2y)=-2x.
De 2y+2cos(x+2y)=0 vem cos(x+2y)=-y.
Igualando -2x=-y) segue
y=2x
Substituindo em cos(x+2y)=cos(5x), a equação para x fica
2x+cos(5x)=0
Assim, todos os pontos críticos são
(x,y)=(x,2x), x satisfaz 2x+cos(5x)=0

Passo 4

Montamos agora a matriz Hessiana de f:
fxx=2-sin(x+2y), fxy=-2sin(x+2y), fyy=2-4sin(x+2y)
O determinante é
D=fxxfyy-fxy^2=(2-sin t)(2-4sin t)-( -2sin t)^2=4-10sin t,
onde t=x+2y=5x.
Classificação em cada ponto crítico:
• Se sin(5x)<0,4 então D>0 e fxx=2-sin(5x)>0, é mínimo local.
• Se sin(5x)>0,4 então D<0, é ponto de sela.
Não aparecem casos de máximo local.

Passo 5

Para ver extremos globais, analisamos |(x,y)|\to\infty. Como o termo quadrático domina, temos f(x,y)\to+\infty, logo não há máximo global.
Entre os mínimos locais, o global é aquele que minimiza f. Numericamente, a menor solução de 2x+cos(5x)=0 é xapprox-0,223, daí y=2xapprox-0,446. O valor de f neste ponto é aproximadamente -0,649.

Passo 6

Resumo final dos extremos:
  • Pontos críticos: (x,y)=(x,2x) onde x satisfaz 2x+cos(5x)=0.
  • Classificação: se sin(5x)<0,4 é mínimo local; se sin(5x)>0,4 é ponto de sela. Não existem máximos locais.
  • Não há máximo global; o único mínimo global ocorre em (x,y)approx(-0,223,-0,446)) com fapprox-0,649

Resposta

Os pontos críticos são
(x,y)=(x,2x) onde x satisfaz 2x+\cos(5x)=0.
Classificação: se \sin(5x)<0{,}4, é mínimo local; se \sin(5x)>0{,}4, é ponto de sela. Não há máximos locais.
Não existe máximo global; o mínimo global está em aproximadamente (x,y)=(-0{,}223,-0{,}446) com f\approx-0{,}649.

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