Estude com relação a extremantes globais e locais a função
,
Passo 1
O enunciado pede o estudo dos extremos (locais e globais) da função f(x,y)=x{2}+y{2}+
sin(x+2y). Vamos usar conteúdo de cálculo multivariável: achar pontos críticos (
abla f=0), classificar via Hessiana e analisar o comportamento no infinito.
sin(x+2y). Vamos usar conteúdo de cálculo multivariável: achar pontos críticos (
abla f=0), classificar via Hessiana e analisar o comportamento no infinito.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero.
O sistema
e
é
que vamos resolver.
Passo 3
Do sistema obtemos duas relações:
De
vem
.
De vem
.
De
Igualando
segue
Substituindo em
, a equação para x fica
Assim, todos os pontos críticos são
Passo 4
Montamos agora a matriz Hessiana de f:
O determinante é
onde
.
Classificação em cada ponto crítico:
• Se
então
e
, é mínimo local.
• Se
então
, é ponto de sela.
Não aparecem casos de máximo local.
Passo 5
Para ver extremos globais, analisamos |(x,y)|\to\infty. Como o termo quadrático domina, temos f(x,y)\to+\infty, logo não há máximo global.
Entre os mínimos locais, o global é aquele que minimiza f. Numericamente, a menor solução de
é
, daí
. O valor de f neste ponto é aproximadamente -0,649.
Passo 6
Resumo final dos extremos:
-
Pontos críticos:
onde x satisfaz . -
Classificação: se
é mínimo local; se é ponto de sela. Não existem máximos locais. -
Não há máximo global; o único mínimo global ocorre em
com
Resposta
Os pontos críticos são
(x,y)=(x,2x) onde x satisfaz 2x+\cos(5x)=0.
Classificação: se \sin(5x)<0{,}4, é mínimo local; se \sin(5x)>0{,}4, é ponto de sela. Não há máximos locais.
Não existe máximo global; o mínimo global está em aproximadamente (x,y)=(-0{,}223,-0{,}446) com f\approx-0{,}649.
(x,y)=(x,2x) onde x satisfaz 2x+\cos(5x)=0.
Classificação: se \sin(5x)<0{,}4, é mínimo local; se \sin(5x)>0{,}4, é ponto de sela. Não há máximos locais.
Não existe máximo global; o mínimo global está em aproximadamente (x,y)=(-0{,}223,-0{,}446) com f\approx-0{,}649.