Calcule . Observe que esta integral independe do ramo particular
Passo 1
Vamos calcular a integral de contorno usando o teorema dos resíduos. O enunciado é: calcular . O conteúdo principal envolve o teorema de Cauchy para integrais de contorno e o cálculo de resíduo em polo de ordem 2. Para isso, precisamos verificar onde a função tem singularidades dentro do disco e se é analítica ali.
Passo 2
Primeiro, identificamos as singularidades. O denominador dá , que está dentro de . As raízes de são , ambas fora de . Portanto, é analítica em com um ramo conveniente, e a única singularidade relevante é um polo de segunda ordem em .
Passo 3
Pelo teorema dos resíduos,
$$\displaystyle\oint_{|z|=1} \frac{\log(z2+2)}{(3z-2)2},dz = 2\pi i ;\mathrm{Res}\Bigl(\frac{\log(z2+2)}{(3z-2)2},,z=\tfrac23\Bigr).
$$
Passo 4
Agora calculamos o resíduo no polo de ordem 2 em . Para um polo de ordem 2,