Calcule oint|z|=1 log (z^2+2)(3 z-2)^2 d z. Observe que esta integral independe do ramo particular

Passo 1

Vamos calcular a integral de contorno usando o teorema dos resíduos. O enunciado é: calcular oint|z|=1 log(z^2+2)(3z-2)^2,dz. O conteúdo principal envolve o teorema de Cauchy para integrais de contorno e o cálculo de resíduo em polo de ordem 2. Para isso, precisamos verificar onde a função tem singularidades dentro do disco |z|<1 e se log(z^2+2) é analítica ali.

Passo 2

Primeiro, identificamos as singularidades. O denominador (3z-2)^2=0 z=2/3, que está dentro de |z|=1. As raízes de z^2+2=0 são z=pm iraiz2, ambas fora de |z|=1. Portanto, log(z^2+2) é analítica em |z|<=1 com um ramo conveniente, e a única singularidade relevante é um polo de segunda ordem em z0=2/3.

Passo 3

Pelo teorema dos resíduos,
$$\displaystyle\oint_{|z|=1} \frac{\log(z2+2)}{(3z-2)2},dz = 2\pi i ;\mathrm{Res}\Bigl(\frac{\log(z2+2)}{(3z-2)2},,z=\tfrac23\Bigr).
$$

Passo 4

Agora calculamos o resíduo no polo de ordem 2 em z0=2/3. Para um polo de ordem 2,
$$\mathrm{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-z_0)^2 f(z)\Bigr].
$$

Passo 5

Repare que 3z-2=3(z-2/3), logo
$$(z-z_0)^2 f(z)=\frac{\log(z^2+2)}{9}.
$$

Passo 6

Derivando e avaliando em z=2/3:
Res=19ddzl[log(z^2+2)r]|z=2/3 =192zz^2+2|z=2/3 =19cdot2cdot23l(23r)^2+2 =19cdottfrac43tfrac49+2 =19cdottfrac43tfrac229 =233

Passo 7

Multiplicando por 2pi i para obter a integral, temos
$$\displaystyle\oint_{|z|=1} \frac{\log(z2+2)}{(3z-2)2},dz = 2\pi i\cdot \frac{2}{33} = \frac{4\pi i}{33}.
$$

Resposta

4pi i33

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