Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
ointC d zz^2+1 d z, onde C é o quadrado de vértices zero, -2 i, e pm 1-i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de ao longo de um contorno quadrado . A matéria que vamos usar aqui é a Teoria das Resíduos da Análise Complexa, que nos ajuda a calcular integrais complexas envolvendo funções com singularidades (ou seja, pontos onde a função não é definida). Vamos precisar identificar os pontos onde a função não está definida (chamados de polos) e verificar quais desses polos estão dentro do contorno .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os polos da função z^2 + 1 = 0 implies z^2 = -1 implies z = pm i . Para isso, igualamos o denominador a zero:
Então, temos dois polos: e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno . O contorno é um quadrado com vértices em , , e . Vamos analisar as posições desses polos:
  • está no ponto .
  • está no ponto .
O quadrado se estende no eixo real de a e no eixo imaginário de a . Observando as posições:
  • está fora do contorno, já que sua parte imaginária está acima do topo do quadrado ( ).
  • está dentro do contorno, pois sua parte imaginária está entre e .

Passo 4

Como apenas o polo Res(1z^2+1, -i) = limz to -i z + iz^2 + 1 = 12zg|z = -i = 12(-i) = -12i está dentro do contorno , vamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. A fórmula para o resíduo de em é:

Passo 5

Agora, aplicamos a Fórmula dos Resíduos de Cauchy, que nos diz que:
ointC f(z) , dz = 2pi i times (soma dos resíduos dentro de C) í
Como temos apenas um resíduo dentro de ointC dzz^2+1 = 2pi i times (-12i) = -pi , substituímos:

Resposta

A integral vale .

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