Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário. , onde é o quadrado de vértices zero, .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de ao longo de um contorno quadrado . A matéria que vamos usar aqui é a Teoria das Resíduos da Análise Complexa, que nos ajuda a calcular integrais complexas envolvendo funções com singularidades (ou seja, pontos onde a função não é definida). Vamos precisar identificar os pontos onde a função não está definida (chamados de polos) e verificar quais desses polos estão dentro do contorno .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os polos da função . Para isso, igualamos o denominador a zero:
Então, temos dois polos: e .
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno . O contorno é um quadrado com vértices em , , e . Vamos analisar as posições desses polos:
está no ponto .
está no ponto .
O quadrado se estende no eixo real de a e no eixo imaginário de a . Observando as posições:
está fora do contorno, já que sua parte imaginária está acima do topo do quadrado ().
está dentro do contorno, pois sua parte imaginária está entre e .
Passo 4
Como apenas o polo está dentro do contorno , vamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. A fórmula para o resíduo de em é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Fórmula dos Resíduos de Cauchy, que nos diz que:
ointC f(z) , dz = 2pi i times (soma dos resíduos dentro de C) í
Como temos apenas um resíduo dentro de ointC dzz^2+1 = 2pi i times (-12i) = -pi , substituímos: