Reparametrize pelo comprimento de arco a curva
dada por:
.
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizar a curva
,
, pelo comprimento de arco
. Vamos precisar usar definição de comprimento de arco, calcular a velocidade
, integrar para achar
e depois inverter essa relação para colocar
em função de
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
. Como
com
e
, usando a regra do produto temos
Em seguida, encontramos a velocidade
$$|\alpha’(t)|=e^t\sqrt{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2}
=et\sqrt{2}=\sqrt2,et.$$
Passo 3
Agora o comprimento de arco desde
até
é
$$
s(t)=\int_{0}{t}|\alpha’(u)|,du=\int_{0}{t}\sqrt2,eu,du=\sqrt2\bigl(et-1\bigr).
e^t=1+\frac{s}{\sqrt2},
\quad t=\ln\Bigl(1+\frac{s}{\sqrt2}\Bigr).$$
Finalmente, substituímos por
em
para obter a nova parametrização
.
Finalmente, substituímos
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco é