Reparametrize pelo comprimento de arco a curva alpha dada por:
alpha(t)=(e^t cos (t), e^t sen(t)), t >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva alpha(t)=l(e^tcos t,;e^tsin tr), t>=0, pelo comprimento de arco s. Vamos precisar usar definição de comprimento de arco, calcular a velocidade |alpha'(t)|, integrar para achar s(t) e depois inverter essa relação para colocar t em função de s.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de alpha(t). Como alpha(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=e^tcos t e y(t)=e^tsin t, usando a regra do produto temos
alpha'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t)r)
Em seguida, encontramos a velocidade v(t)=|alpha'(t)|. Calculando o módulo:
$$|\alpha’(t)|=e^t\sqrt{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2}
=et\sqrt{2}=\sqrt2,et.$$

Passo 3

Agora o comprimento de arco desde t=0 até t é
$$
s(t)=\int_{0}{t}|\alpha’(u)|,du=\int_{0}{t}\sqrt2,eu,du=\sqrt2\bigl(et-1\bigr). s(t)=integral0^t|alpha'(u)|,du=integral0^traiz2,e^u,du=raiz2l(e^t-1r)
e^t=1+\frac{s}{\sqrt2},
\quad t=\ln\Bigl(1+\frac{s}{\sqrt2}\Bigr).$$
Finalmente, substituímos s(t)=raiz2(e^t-1) por e^t=1+sraiz2, t=lnl(1+sraiz2r) em t para obter a nova parametrização t(s).

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é
r(s)=l(l(1+tfracsraiz2r)cosl(ln(1+tfracsraiz2)r),;l(1+tfracsraiz2r)sinl(ln(1+tfracsraiz2)r)r), s>=0

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