Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
Esse tipo de problema pertence ao estudo da Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para calcular integrais ao redor de curvas fechadas no plano complexo. Vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (pontos onde ela “explode”) dentro do círculo de raio 1 e calcular o resíduo nesses pontos para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades. As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, quando .
Resolvendo para :
Então, temos uma única singularidade em .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa singularidade está dentro do nosso contorno de integração, que é o círculo de raio 1 (). Calculando o módulo de :
Como é menor que 1, a singularidade está dentro do contorno.
Passo 4
Como a singularidade está dentro do contorno, podemos usar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. Nosso próximo passo é determinar o resíduo da função na singularidade Res(f, z0) = 1(n-1)! limz to z0 d^n-1dz^n-1 [ (z - z0)^n f(z) ] .
Notamos que o denominador é Res(z^2+z+i(4 z-i)^3, i4) = 12! limz to i4 d^2dz^2 [ (z - i4)^3 cdot z^2+z+i(4 z-i)^3 ] , o que indica que temos um polo de ordem 3 em .
Para polos de ordem , o resíduo é dado por:
No nosso caso, e , então:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da derivada:
(z - i4)^3 cdot z^2+z+i(4 z-i)^3 = (z - i4)^3(4z - i)^3 cdot (z^2+z+i)
Observamos que (z - i4)^3(4z - i)^3 = (14)^3 = 164 , então: