Calcule oint|z|=1 z^2+z+i(4 z-i)^3 d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
oint|z|=1 z^2+z+i(4 z-i)^3 , dz
Esse tipo de problema pertence ao estudo da Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para calcular integrais ao redor de curvas fechadas no plano complexo. Vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (pontos onde ela “explode”) dentro do círculo de raio 1 e calcular o resíduo nesses pontos para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função
z^2+z+i(4 z-i)^3
tem singularidades. As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, quando 4z - i = 0 implies z = i4 .
Resolvendo para :
Então, temos uma única singularidade em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa singularidade está dentro do nosso contorno de integração, que é o círculo de raio 1 ( | i4 | = 14 < 1 ). Calculando o módulo de :
Como é menor que 1, a singularidade está dentro do contorno.

Passo 4

Como a singularidade está dentro do contorno, podemos usar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. Nosso próximo passo é determinar o resíduo da função na singularidade Res(f, z0) = 1(n-1)! limz to z0 d^n-1dz^n-1 [ (z - z0)^n f(z) ] .
Notamos que o denominador é Res(z^2+z+i(4 z-i)^3, i4) = 12! limz to i4 d^2dz^2 [ (z - i4)^3 cdot z^2+z+i(4 z-i)^3 ] , o que indica que temos um polo de ordem 3 em .
Para polos de ordem , o resíduo é dado por:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da derivada:
(z - i4)^3 cdot z^2+z+i(4 z-i)^3 = (z - i4)^3(4z - i)^3 cdot (z^2+z+i)
Observamos que (z - i4)^3(4z - i)^3 = (14)^3 = 164 , então:
164 (z^2+z+i)
Portanto, a expressão simplifica para:
d^2dz^2 [ 164 (z^2+z+i) ] = 164 cdot d^2dz^2 (z^2+z+i)
Agora, precisamos calcular a segunda derivada dessa expressão em ddz (z^2+z+i) = 2z + 1 :
d^2dz^2 (z^2+z+i) = 2
Calculando a derivada:
164 cdot 2 = 264 = 132
Então:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula do resíduo:
Res(z^2+z+i(4 z-i)^3, i4) = 12! cdot 132 = 12 cdot 132 = 164

Resposta

A integral é igual a:
oint|z|=1 z^2+z+i(4 z-i)^3 , dz = 2pi i cdot 164 = pi i32

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