Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
, onde
é o quadrado de vértices zero,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de contorno
, onde
é um quadrado percorrido no sentido anti-horário. Isso está no campo da Análise Complexa, especificamente usando a Fórmula Integral de Cauchy. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função
não é analítica (ou seja, onde ela tem singularidades) e verificar se esses pontos estão dentro do contorno
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as singularidades da função
. Isso acontece onde o denominador é zero:
Então, as singularidades estão em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar se essas singularidades estão dentro do contorno
. O contorno é um quadrado com vértices em 0,
,
, e
. Vamos visualizar:
-
: Está no meio do quadrado, então está dentro de . -
: Fica fora do quadrado, já que o quadrado está centrado na parte imaginária positiva.
Portanto, apenas
está dentro do contorno
.
Passo 4
Com a Fórmula Integral de Cauchy, sabemos que:
onde
é o resíduo da função
na singularidade
dentro de
.
Vamos calcular o resíduo de
em
:
Resposta
Agora, aplicando a Fórmula Integral de Cauchy:
Então, a integral vale
.