Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
ointC d zz^2+1 d z, onde C é o quadrado de vértices zero, 2 i, e pm 1+i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de contorno , onde é um quadrado percorrido no sentido anti-horário. Isso está no campo da Análise Complexa, especificamente usando a Fórmula Integral de Cauchy. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função não é analítica (ou seja, onde ela tem singularidades) e verificar se esses pontos estão dentro do contorno .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as singularidades da função z^2 + 1 = 0 implies z^2 = -1 implies z = i ou z = -i . Isso acontece onde o denominador é zero:
Então, as singularidades estão em e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essas singularidades estão dentro do contorno . O contorno é um quadrado com vértices em 0, , , e . Vamos visualizar:
  • : Está no meio do quadrado, então está dentro de .
  • : Fica fora do quadrado, já que o quadrado está centrado na parte imaginária positiva.
Portanto, apenas está dentro do contorno .

Passo 4

Com a Fórmula Integral de Cauchy, sabemos que:
ointC f(z) , dz = 2pi i times Res(f, z0)
onde Res(1z^2 + 1, i) = limz to i (z - i)1z^2 + 1 = limz to i z - i(z - i)(z + i) = limz to i 1z + i = 1i + i = 12i é o resíduo da função na singularidade dentro de .
Vamos calcular o resíduo de em :

Resposta

Agora, aplicando a Fórmula Integral de Cauchy:
ointC dzz^2 + 1 = 2pi i times 12i = pi
Então, a integral vale .

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