Calcule ointY 1(a^2+16)^2 d z, onde y é o círculo centrado em 2 i de raio 3 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha ointY 1(z^2+16)^2,dz onde Y é o círculo de centro 2i e raio 3. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos, e vamos precisar de: identificar polos de f(z)=1/(z^2+16)^2, ver quais estão dentro de Y, calcular o resíduo num polo duplo e usar oint f(z),dz=2pi isumRes.

Passo 2

Primeiro identificamos os polos de f(z)=1/(z^2+16)^2. Como z^2+16=0 z=pm4i, e como o denominador está ao quadrado cada polo é de ordem 2. Agora determinamos quais estão dentro de Y:
  • Distância de 4i a 2i é |4i-2i|=2<3 logo 4i fica dentro de Y.
  • Distância de -4i a 2i é |-4i-2i|=6>3 logo -4i fica fora de Y.

Passo 3

Agora calculamos o resíduo em z0=4i. Para um polo de ordem 2 vale
Res(f,4i)=limzto4iddzl[(z-4i)^2f(z)r]=limzto4iddz1(z+4i)^2

Passo 4

Derivando temos
ddz1(z+4i)^2=-21(z+4i)^3,
e avaliando em z=4i
Res(f,4i)=-21(8i)^3=-21512,i^3=-21512(-i)=1256i=-i256

Passo 5

Por fim, usando o Teorema dos Resíduos:
ointY f(z),dz=2pi i,Res(f,4i)=2pi il(-i256r)=2pi,(icdot(-i))256=2pi256=pi128

Resposta

pi128

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