Faça um esboço e dê uma parametrização (a equação) em coordenadas cartesianas das superfície dada em coordenadas cilíndricas, pela equação
. Faça todo o calculo da prova real, isto é, encontrada a equação em coordenadas cartesianas, encontre a equação da superficie em coordenadas cilindricas e compare com a equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma superfície descrita em coordenadas cilíndricas pela equação
. Nosso objetivo é desenhar um esboço dessa superfície e encontrar sua equação em coordenadas cartesianas. Depois disso, vamos converter de volta para coordenadas cilíndricas para ver se bate com a equação original. Para isso, vamos precisar usar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas e entender como converter equações entre esses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas (
) e as coordenadas cartesianas (
). As relações entre elas são:
E também, podemos expressar
em termos de
e
:
E o ângulo
pode ser encontrado usando:
Passo 3
Agora, vamos pegar a equação dada em coordenadas cilíndricas:
. Queremos expressar essa equação em coordenadas cartesianas. Para isso, substituímos
por
e
por
:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.
Passo 4
Vamos simplificar a equação para ficarmos com uma forma mais clara. Sabemos que
não é fácil de trabalhar diretamente, mas podemos deixar a equação assim para representar a superfície em coordenadas cartesianas:
Isso descreve a relação entre
e
na superfície.
Passo 5
Agora, vamos converter de volta essa equação para coordenadas cilíndricas para verificar se retornamos à equação original
. Usando as relações inversas:
Substituindo na equação cartesianas:
Como vemos, voltamos à equação original, o que confirma que a conversão foi feita corretamente.
Resposta
A superfície dada por
em coordenadas cartesianas é descrita pela equação
. Ao reconverter para coordenadas cilíndricas, retornamos à equação original, confirmando a correta parametrização.