Faça um esboço e dê uma parametrização (a equação) em coordenadas cartesianas das superfície dada em coordenadas cilíndricas, pela equação rho=e^theta. Faça todo o calculo da prova real, isto é, encontrada a equação em coordenadas cartesianas, encontre a equação da superficie em coordenadas cilindricas e compare com a equação dada.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma superfície descrita em coordenadas cilíndricas pela equação rho = e^theta. Nosso objetivo é desenhar um esboço dessa superfície e encontrar sua equação em coordenadas cartesianas. Depois disso, vamos converter de volta para coordenadas cilíndricas para ver se bate com a equação original. Para isso, vamos precisar usar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas e entender como converter equações entre esses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas ( rho, theta, z) e as coordenadas cartesianas ( x, y, z). As relações entre elas são:
x = rho cos theta
y = rho sin theta
z = z
E também, podemos expressar rho em termos de x e y:
rho = raizx^2 + y^2
E o ângulo theta pode ser encontrado usando:
theta = arctan(yx)

Passo 3

Agora, vamos pegar a equação dada em coordenadas cilíndricas: rho = e^theta. Queremos expressar essa equação em coordenadas cartesianas. Para isso, substituímos rho por raizx^2 + y^2 e theta por arctan(yx):
raizx^2 + y^2 = e^arctan(yx)
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 4

Vamos simplificar a equação para ficarmos com uma forma mais clara. Sabemos que e^arctan(yx) não é fácil de trabalhar diretamente, mas podemos deixar a equação assim para representar a superfície em coordenadas cartesianas:
raizx^2 + y^2 = e^arctan(yx)
Isso descreve a relação entre x e y na superfície.

Passo 5

Agora, vamos converter de volta essa equação para coordenadas cilíndricas para verificar se retornamos à equação original rho = e^theta. Usando as relações inversas:
raizx^2 + y^2 = rho
arctan(yx) = theta
Substituindo na equação cartesianas:
rho = e^theta
Como vemos, voltamos à equação original, o que confirma que a conversão foi feita corretamente.

Resposta

A superfície dada por rho = e^theta em coordenadas cartesianas é descrita pela equação raizx^2 + y^2 = e^arctan(yx). Ao reconverter para coordenadas cilíndricas, retornamos à equação original, confirmando a correta parametrização.

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