Estude a convergência da sequência abaixo:
nn+sen n

Passo 1

Nesse exercício temos a sequência an = nn + sin n. O conteúdo envolve limites de sequência e vamos precisar usar o fato de que sin n é limitado e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Como sin n satisfaz -1 <= sin n <= 1, somando n a tudo obtemos
n - 1 <= n + sin n <= n + 1
e, como todos os denominadores são positivos para n >= 2, invertemos mantendo a desigualdade:
nn+1 <= nn + sin n <= nn-1

Passo 3

Agora calculamos o limite dos termos das sequências de apoio. Para n to infty vale
nn+1 = 11 + tfrac1n to 1
e
e nn-1 = 11 - tfrac1n to 1

Passo 4

Pelas desigualdades acima e pelo Teorema do Confronto, concluímos que an também tende a 1.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

Exercícios relacionados