Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de 120^circ C em um ambiente cuja temperatura é constante e vale 8^circ C. Após 30 minutos mediu-se a temperatura da barra encontrando o valor de 70^circ C. Pergunta-se:
qual o tempo para a barra atingir a temperatura de 65^circ C? R: 34,27 min
Sugestão: Equação de Temperatura d Td t=k(Tm-T) onde Tm é a temperatura ambiente.

Passo 1

O enunciado diz que uma barra de metal, inicialmente a 120°C, é colocada em um ambiente a 8°C. Após 30 minutos sua temperatura caiu para 70°C. Queremos descobrir quando ela atingirá 65°C. O conteúdo aplicado é a Lei de Resfriamento de Newton, descrita pela equação dTdt=kl(Tm - Tr), onde Tm é a temperatura ambiente e k é uma constante positiva.

Passo 2

Para resolver a EDO dTdt=k(Tm - T), separamos variáveis:
dTTm - T = k,dt
Integrando ambos os lados, obtemos
-ln|Tm - T| = k t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando e rearranjando, chega-se à solução geral
T(t) = Tm + A e^-k t,
em que A é uma constante a determinar.

Passo 3

Usando a condição inicial T(0)=120 e Tm=8, temos
120 = 8 + A implies A = 112,
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T(t) = 8 + 112 e^-k t

Passo 4

Na medida de 30 minutos, T(30)=70, então
70 = 8 + 112 e^-30k implies 112 e^-30k = 62 implies e^-30k = 62112 = 0,5535714
Tomando logaritmo,
-30k = lnl(0,5535714r) implies k = -130lnl(0,5535714r) approx 0,01971,(min^-1)

Passo 5

Para achar t tal que T(t)=65, fazemos
65 = 8 + 112 e^-k t implies 112 e^-k t = 57 implies e^-k t = 57112 = 0,50893,
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-k t = lnl(0,50893r) implies t = -1klnl(0,50893r) approx 34,27 minutos

Resposta

34,27 minutos

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