Calcule ointY x^2 y d x-x^3 d y(x^2+y^2)^2, onde gamma=partial Omega é a fronteira do conjunto
Omega=(x, y) in R^2:|x|+|y| <= 4
com orientação no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que você me passou! Basicamente, temos que calcular a integral de uma função sobre a fronteira de um conjunto chamado Ω, que é definido por |x| + |y| ≤ 4. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Green. Vamos precisar entender como aplicar esses conceitos para resolver a integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos:
ointY x^2 y , dx - x^3 , dy(x^2+y^2)^2
Aqui, $ Y = \partial \Omega $ é a fronteira do conjunto Ω, que é um losango com lados alinhados aos eixos coordenados. A orientação é no sentido anti-horário, o que é importante para aplicar o Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno. Ele é uma versão bidimensional do teorema fundamental do cálculo. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, $ P $ e $ Q $ são funções que fazem parte da nossa integral de linha.

Passo 4

Vamos identificar $ P $ e $ Q $ na nossa integral:
P
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $.

Passo 5

Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
partial Qpartial x
Aplicamos a regra do quociente:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -x^3(x^2+y^2)^2 )
Simplificando:
partial Qpartial x = -3x^2(x^2+y^2)^2 - x^3 cdot 2(x^2+y^2) cdot 2x(x^2+y^2)^4

Passo 6

Calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Ppartial y
Aplicando a regra do quociente:
partial Ppartial y = partialpartial y ( x^2 y(x^2+y^2)^2 )
Simplificando:
partial Ppartial y = x^2 (x^2+y^2)^2 - x^2 y cdot 2(x^2+y^2) cdot 2y(x^2+y^2)^4

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointY x^2 y , dx - x^3 , dy(x^2+y^2)^2 = integral duplaOmega ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Substituindo as derivadas que calculamos:
integral duplaOmega ( x^2 y^2(x^2+y^2)^3 - x^4 - 3x^2 y^2(x^2+y^2)^3 ) , dx , dy = integral duplaOmega 4x^2 y^2 - x^4(x^2+y^2)^3 , dx , dy

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
4x^2 y^2 - x^4(x^2+y^2)^3 = x^2(4y^2 - x^2)(x^2+y^2)^3
Agora, percebemos que a integral pode ser simplificada usando coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Isso é útil porque a região Ω é simétrica e mais fácil de integrar em coordenadas polares.

Passo 9

Convertendo para coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, dx , dy = r , dr , dtheta
A região Ω, definida por |x| + |y| ≤ 4, em coordenadas polares, corresponde a $ r \leq \frac{4}{|\cos \theta| + |\sin \theta|} $.
Mas para simplificar, notamos que devido à simetria, podemos multiplicar a integral por 4 e considerar apenas o primeiro quadrante.

Passo 10

Substituindo na integral:
integral duplaOmega x^2(4y^2 - x^2)(x^2+y^2)^3 , dx , dy = 4 integral0^pi2 integral0^4cos theta + sin theta r^2 cos^2 theta (4r^2 sin^2 theta - r^2 cos^2 theta)r^6 cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
= 4 integral0^pi2 integral0^4cos theta + sin theta r^2 cos^2 theta (4 sin^2 theta - cos^2 theta)r^5 , dr , dtheta = 4 integral0^pi2 cos^2 theta (4 sin^2 theta - cos^2 theta) integral0^4cos theta + sin theta 1r^3 , dr , dtheta

Passo 11

Calculando a integral em r:
integral0^4cos theta + sin theta 1r^3 , dr = [ -12 r^2 ]0^4cos theta + sin theta = -12 ( (cos theta + sin theta)^216 - infty )
No entanto, percebemos que a integral diverge no limite inferior (quando r → 0). Isso sugere que a integral original não converge, ou seja, o valor da integral é infinito.

Resposta

A integral ointY x^2 y , dx - x^3 , dy(x^2+y^2)^2 diverge e não possui um valor finito.

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