Calcule
, onde
é a fronteira do conjunto
com orientação no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que você me passou! Basicamente, temos que calcular a integral de uma função sobre a fronteira de um conjunto chamado Ω, que é definido por |x| + |y| ≤ 4. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Green. Vamos precisar entender como aplicar esses conceitos para resolver a integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos:
Aqui, $ Y = \partial \Omega $ é a fronteira do conjunto Ω, que é um losango com lados alinhados aos eixos coordenados. A orientação é no sentido anti-horário, o que é importante para aplicar o Teorema de Green.
Passo 3
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno. Ele é uma versão bidimensional do teorema fundamental do cálculo. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, $ P $ e $ Q $ são funções que fazem parte da nossa integral de linha.
Passo 4
Vamos identificar $ P $ e $ Q $ na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $.
Passo 5
Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Agora, percebemos que a integral pode ser simplificada usando coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Isso é útil porque a região Ω é simétrica e mais fácil de integrar em coordenadas polares.
Passo 9
Convertendo para coordenadas polares:
A região Ω, definida por |x| + |y| ≤ 4, em coordenadas polares, corresponde a $ r \leq \frac{4}{|\cos \theta| + |\sin \theta|} $.
Mas para simplificar, notamos que devido à simetria, podemos multiplicar a integral por 4 e considerar apenas o primeiro quadrante.
Passo 10
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão:
Passo 11
Calculando a integral em r:
No entanto, percebemos que a integral diverge no limite inferior (quando r → 0). Isso sugere que a integral original não converge, ou seja, o valor da integral é infinito.
Resposta
A integral
diverge e não possui um valor finito.