Dada a função
, de variável real:
Analise o seu comportamento (variação da função), indicando os extremos; (1,75 valores)
Analise o seu comportamento (variação da função), indicando os extremos; (1,75 valores)
Passo 1
O problema pede para analisar onde a função
aumenta ou diminui e identificar extremos. Para isso, vamos precisar da derivada de
e do estudo de sinal dela.
Passo 2
O domínio de
é
, pois o termo
não está definido em
. Vamos estudar cada ramo separadamente.
Passo 3
Como
, sua derivada é
$$y’ = -\frac{2x}{(1+x2)2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 1}{x2,(1+x2)^2}.
$$
Passo 4
O denominador
é estritamente positivo para todo
. Basta então ver o sinal do numerador
. Calculando
e notando que o polinômio quadrático
não tem raízes reais (discriminante negativo), a única raiz crítica de
é
, onde
. Logo
para todo
.
Passo 5
Concluímos que
em ambos intervalos
e
, o que significa que
é estritamente crescente em cada um desses ramos. Não há pontos onde
dentro do domínio, portanto não existem extremos locais.
Passo 6
Como detalhe adicional, em
temos
e em
temos
, mostrando assíntota vertical em
. Em
,
, ou seja, assíntota horizontal
.
Resposta
A função é estritamente crescente em
e em
e não apresenta extremos locais.