Dada a função y=11+x^2-1x, de variável real:
Analise o seu comportamento (variação da função), indicando os extremos; (1,75 valores)

Passo 1

O problema pede para analisar onde a função f(x)=11+x^2-1x aumenta ou diminui e identificar extremos. Para isso, vamos precisar da derivada de f e do estudo de sinal dela.

Passo 2

O domínio de f é Rsetminus0=[-infty,0)cup(0,infty], pois o termo 1/x não está definido em x=0. Vamos estudar cada ramo separadamente.

Passo 3

Como f(x)=(1+x^2)^-1-x^-1, sua derivada é
$$y’ = -\frac{2x}{(1+x2)2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 1}{x2,(1+x2)^2}.
$$

Passo 4

O denominador x^2(1+x^2)^2 é estritamente positivo para todo xneq0. Basta então ver o sinal do numerador N(x)=x^4-2x^3+2x^2+1. Calculando N'(x)=4x^3-6x^2+4x=2x(2x^2-3x+2) e notando que o polinômio quadrático 2x^2-3x+2 não tem raízes reais (discriminante negativo), a única raiz crítica de N é x=0, onde N(0)=1>0. Logo N(x)>0 para todo x.

Passo 5

Concluímos que y'>0 em ambos intervalos (-infty,0) e (0,infty), o que significa que f é estritamente crescente em cada um desses ramos. Não há pontos onde f'(x)=0 dentro do domínio, portanto não existem extremos locais.

Passo 6

Como detalhe adicional, em xto0^- temos f(x)to+infty e em xto0^+ temos f(x)to-infty, mostrando assíntota vertical em x=0. Em xtopminfty, f(x)to0, ou seja, assíntota horizontal y=0.

Resposta

A função é estritamente crescente em (-infty,0) e em (0,infty) e não apresenta extremos locais.

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