Calcule: f^prime(x), f^prime prime(x), f^prime prime prime(x), f^4(x) e f^4(1), onde:
Se f(x)=e^x+20 x^2.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de ordem 1 a 4 de
f(x)=e^x + 20x^2
e, em seguida, o valor de f^(4)(1).
Vamos usar a regra da soma de derivadas, a derivada de e^x que é e^x e a regra do poder para x^2, cujo resultado é 2x.

Passo 2

Derivando uma vez, aplicamos a soma e a regra do poder em 20x^2:
f'(x)=ddxl(e^xr)+ddxl(20x^2r) =e^x + 20cdot 2x =e^x + 40x

Passo 3

Derivando pela segunda vez, a derivada de e^x continua e^x e de 40x é 40:
f''(x)=ddxl(e^x + 40xr) =e^x + 40

Passo 4

A terceira derivada vem de derivar f''(x)=e^x+40. A constante some e ficamos com
f'''(x)=ddxl(e^x + 40r) =e^x

Passo 5

A quarta derivada é a derivada de f'''(x)=e^x, que permanece e^x. Em seguida, avaliamos em x=1:
f^(4)(x)=ddxl(e^xr)=e^x, f^(4)(1)=e^1=e

Resposta

f'(x)=e^x+40x
f''(x)=e^x+40
f'''(x)=e^x
f^(4)(x)=e^x
f^(4)(1)=e

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