8: O que é uma função injetora? Como decidir, a partir de seu gráfico, se uma função é injetora? Se fé injetora, como é definida a função inversa f^-1 ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
– Definir o que é uma função injetora.
– Dizer como, olhando o gráfico de f, podemos verificar se ela é injetora.
– Se ela for injetora, explicar como se define a função inversa f^-1.
Esse conteúdo envolve lógica de aplicação de funções e interpretação gráfica (teste da reta horizontal).

Passo 2

Uma função fcolon Ato B é injetora quando valores diferentes na entrada geram sempre valores diferentes na saída. Em símbolos:
forall x1,x2in A,;f(x1)=f(x2);Longrightarrow;x1=x2
Outra forma equivalente é dizer que se x1neq x2 então f(x1)neq f(x2).

Passo 3

No gráfico de f, a injetividade se verifica pelo teste da reta horizontal:
Se nenhuma reta paralela ao eixo x intersecta o gráfico de f em mais de um ponto, então f é injetora. Caso uma reta horizontal corte o gráfico em dois (ou mais) pontos, há x1neq x2 com f(x1)=f(x2), e f não é injetora.

Passo 4

Quando f é injetora, podemos “desfazer” a aplicação e definir a inversa f^-1 trocando domínio e imagem. Mais precisamente:
– O domínio de f^-1 é Im(f)=yin Bmid exists xin A,;y=f(x).
– Para cada y nesse conjunto existe um único x tal que f(x)=y. Definimos
f^-1(y)=xLong<=ftrightarrow f(x)=y
Assim, f^-1colon Im(f)to A satisfaz f^-1(f(x))=x para todo xin A e f(f^-1(y))=y para todo yin Im(f).

Resposta

O que é injetora:
Uma função fcolon Ato B é injetora se valores distintos em A têm imagens distintas em B, isto é,
f(x1)=f(x2)Longrightarrow x1=x2
Como decidir pelo gráfico:
Usa-se o teste da reta horizontal. Se nenhuma reta horizontal corta o gráfico mais de uma vez, f é injetora.
Definição da inversa f^-1:
Se f é injetora, então para cada yinIm(f) existe único x com f(x)=y, e define-se
f^-1(y)=xse e somente se f(x)=y

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