8: O que é uma função injetora? Como decidir, a partir de seu gráfico, se uma função é injetora? Se fé injetora, como é definida a função inversa
?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
– Definir o que é uma função injetora.
– Dizer como, olhando o gráfico de , podemos verificar se ela é injetora.
– Se ela for injetora, explicar como se define a função inversa .
– Definir o que é uma função injetora.
– Dizer como, olhando o gráfico de
– Se ela for injetora, explicar como se define a função inversa
Esse conteúdo envolve lógica de aplicação de funções e interpretação gráfica (teste da reta horizontal).
Passo 2
Uma função
é injetora quando valores diferentes na entrada geram sempre valores diferentes na saída. Em símbolos:
Outra forma equivalente é dizer que se
então
.
Passo 3
No gráfico de
, a injetividade se verifica pelo teste da reta horizontal:
Se nenhuma reta paralela ao eixo intersecta o gráfico de
em mais de um ponto, então
é injetora. Caso uma reta horizontal corte o gráfico em dois (ou mais) pontos, há
com
, e
não é injetora.
Se nenhuma reta paralela ao eixo
Passo 4
Quando
é injetora, podemos “desfazer” a aplicação e definir a inversa
trocando domínio e imagem. Mais precisamente:
– O domínio de é
.
– Para cada nesse conjunto existe um único
tal que
. Definimos
– O domínio de
– Para cada
Assim,
satisfaz
para todo
e
para todo
.
Resposta
O que é injetora:
Uma função é injetora se valores distintos em
têm imagens distintas em
, isto é,
Uma função
Como decidir pelo gráfico:
Usa-se o teste da reta horizontal. Se nenhuma reta horizontal corta o gráfico mais de uma vez, é injetora.
Usa-se o teste da reta horizontal. Se nenhuma reta horizontal corta o gráfico mais de uma vez,
Definição da inversa
:
Se é injetora, então para cada
existe único
com
, e define-se
Se