Calcule: f^prime(x), f^prime prime(x), f^prime prime prime(x), f^4(x) e f^4(1), onde:
Se f(x)=x^4-x^3.

Passo 1

O enunciado define f(x)=x^4-x^3 e pede as derivadas de 1ª até 4ª ordem, além de avaliar a 4ª derivada em x=1. O conteúdo necessário é a regra de potência, segundo a qual, se g(x)=x^n, então
g'(x)=n,x^n-1

Passo 2

Aplicando a regra de potência termo a termo em f(x)=x^4-x^3, obtemos a 1ª derivada:
f'(x)=ddxl(x^4r)-ddxl(x^3r) =4x^3-3x^2

Passo 3

Derivando f'(x)=4x^3-3x^2 novamente, temos a 2ª derivada:
f''(x)=ddxl(4x^3r)-ddxl(3x^2r) =12x^2-6x

Passo 4

Derivando f''(x)=12x^2-6x uma vez mais, obtemos a 3ª derivada:
f'''(x)=ddxl(12x^2r)-ddxl(6xr) =24x-6

Passo 5

Derivando f'''(x)=24x-6, chegamos à 4ª derivada, que neste caso é constante:
f^(4)(x)=ddxl(24x-6r)=24

Passo 6

Por fim, avaliamos f^(4)(x) em x=1:
f^(4)(1)=24

Resposta

f'(x)=4x^3-3x^2
f''(x)=12x^2-6x
f'''(x)=24x-6
f^(4)(x)=24
f^(4)(1)=24

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