Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é definida por , e . Isso envolve conceitos de cálculo tridimensional, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos dividir a integral em integrais iteradas com os limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral tripla de forma iterada de acordo com os limites de . A ordem de integração pode ser , e depois . Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a primeiro. Como não depende de , a integral fica:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar em relação a . Vamos expandir o termo dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Para , a integral de é , então:
Para integral x y cos y , dy, usamos integração por partes onde:
u = y então du = dy
dv = cos y , dy então v = sin y
Aplicando integração por partes:
x y sin y - x integral sin y , dy = x y sin y + x cos y g|0^x = x x sin x + x cos x - 0 = x^2 sin x + x cos x
Então, a integral em y fica:
x^2 sin x + x^2 sin x + x cos x = 2 x^2 sin x + x cos x
Passo 5
Finalmente, vamos integrar em relação a x:
integral0^2 (2 x^2 sin x + x cos x) , dx
Vamos separar as integrais:
Para 2 x^2 sin x, usamos integração por partes duas vezes:
Primeira parte resultará em -2 x^2 cos x + 4 x sin x + 8 cos x
Para x cos x, também usamos integração por partes:
Resultado será x sin x + cos x
Somando tudo e avaliando de 0 a 2, temos:
-2 cdot 2^2 cos 2 + 4 cdot 2 sin 2 + 8 cos 2 + 2 sin 2 + cos 2 - [0 + 0 + 8 cos 0 + 0 + cos 0] =
Simplificando:
-8 cos 2 + 8 sin 2 + 8 cos 2 + 2 sin 2 + cos 2 - 8 - 1 = 10 sin 2 + cos 2 - 9