Calcule integral triplaE x cos y d V, onde
E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= x, 0 <= z <= x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE x cos y , dV, onde a região E é definida por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= x e 0 <= z <= x + y. Isso envolve conceitos de cálculo tridimensional, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos dividir a integral em integrais iteradas com os limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla de forma iterada de acordo com os limites de E. A ordem de integração pode ser dz, dy e depois dx. Assim, temos:
integral triplaE x cos y , dV = integralx=0^2 integraly=0^x integralz=0^x+y x cos y , dz , dy , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a z primeiro. Como x cos y não depende de z, a integral fica:
integralz=0^x+y x cos y , dz = x cos y cdot (x + y - 0) = x cos y (x + y)
Então, a integral se simplifica para:
integralx=0^2 integraly=0^x x cos y (x + y) , dy , dx

Passo 4

Em seguida, vamos integrar em relação a y. Vamos expandir o termo dentro da integral:
x cos y (x + y) = x^2 cos y + x y cos y
Agora, integramos termo a termo:
  1. Para integral x^2 cos y , dy, a integral de cos y é sin y, então:
x^2 sin y g|0^x = x^2 (sin x - 0) = x^2 sin x
  1. Para integral x y cos y , dy, usamos integração por partes onde:
    • u = y então du = dy
    • dv = cos y , dy então v = sin y
Aplicando integração por partes:
x y sin y - x integral sin y , dy = x y sin y + x cos y g|0^x = x x sin x + x cos x - 0 = x^2 sin x + x cos x
Então, a integral em y fica:
x^2 sin x + x^2 sin x + x cos x = 2 x^2 sin x + x cos x

Passo 5

Finalmente, vamos integrar em relação a x:
integral0^2 (2 x^2 sin x + x cos x) , dx
Vamos separar as integrais:
  1. Para 2 x^2 sin x, usamos integração por partes duas vezes:
    • Primeira parte resultará em -2 x^2 cos x + 4 x sin x + 8 cos x
  2. Para x cos x, também usamos integração por partes:
    • Resultado será x sin x + cos x
Somando tudo e avaliando de 0 a 2, temos:
-2 cdot 2^2 cos 2 + 4 cdot 2 sin 2 + 8 cos 2 + 2 sin 2 + cos 2 - [0 + 0 + 8 cos 0 + 0 + cos 0] =
Simplificando:
-8 cos 2 + 8 sin 2 + 8 cos 2 + 2 sin 2 + cos 2 - 8 - 1 = 10 sin 2 + cos 2 - 9

Resposta

A integral tripla vale 10 sin 2 + cos 2 - 9.

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