Determine o momento de inércia em relação ao eixo x de uma lâmina triangular com vértices (0,0),(a, 0) e (0, b), de densidade constante rho.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia em relação ao eixo x de uma lâmina triangular com vértices em (0,0) , (a, 0) e (0, b) . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especialmente integrais, e entender como distribuir a massa da lâmina para calcular esse momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. No nosso caso, o momento de inércia em relação ao eixo x ( Ix ) é dado por:
Ix = integral y^2 , dm
Onde y é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo x .

Passo 3

Como a densidade rho é constante, podemos expressar o elemento de massa dm como:
dm = rho , dA
Aqui, dA é um elemento de área da lâmina. Então, substituindo na expressão do momento de inércia:
Ix = rho integral y^2 , dA

Passo 4

Agora, vamos definir os limites da nossa integral. A lâmina triangular tem vértices em (0,0) , (a, 0) e (0, b) . A equação da hipotenusa (a linha que liga (a,0) a (0,b) ) é:
y = -bax + b
Isso nos ajuda a determinar os limites de integração para y em função de x .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Para cada valor de x entre 0 e a , y varia de 0 até y(x) = b(1 - xa) . Assim, a integral fica:
Ix = rho integral0^a integral0^b(1 - xa) y^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integral0^b(1 - xa) y^2 , dy = [ y^33 ]0^b(1 - xa) = b^3(1 - xa)^33

Passo 7

Substituindo esse resultado na integral de x :
Ix = rho integral0^a b^3(1 - xa)^33 , dx = rho b^33 integral0^a (1 - xa)^3 , dx

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 1 - xa , então du = -1a dx ou dx = -a , du . Alterando os limites:
  • Quando x = 0 , u = 1
  • Quando x = a , u = 0
A integral fica:
Ix = rho b^33 cdot a integral1^0 u^3 (-du) = rho a b^33 integral0^1 u^3 , du
Resolvendo a integral:
integral0^1 u^3 , du = [ u^44 ]0^1 = 14

Passo 9

Finalmente, substituindo esse valor:
Ix = rho a b^33 cdot 14 = rho a b^312

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo x é Ix = dfracrho a b^312 .

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