Determine o momento de inércia em relação ao eixo
de uma lâmina triangular com vértices
e
, de densidade constante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia em relação ao eixo
de uma lâmina triangular com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especialmente integrais, e entender como distribuir a massa da lâmina para calcular esse momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. No nosso caso, o momento de inércia em relação ao eixo
(
) é dado por:
Onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo
.
Passo 3
Como a densidade
é constante, podemos expressar o elemento de massa
como:
Aqui,
é um elemento de área da lâmina. Então, substituindo na expressão do momento de inércia:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites da nossa integral. A lâmina triangular tem vértices em
,
e
. A equação da hipotenusa (a linha que liga
a
) é:
Isso nos ajuda a determinar os limites de integração para
em função de
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. Para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Substituindo esse resultado na integral de
:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
. Alterando os limites:
- Quando
, - Quando
,
A integral fica:
Resolvendo a integral:
Passo 9
Finalmente, substituindo esse valor:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
é
.