Calcule A+B, onde A=50 \cdot 51+51 \cdot 52+\ldots+100 \cdot 101 e B=1^{3}+2^{3}+\ldots+100^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular A+B, onde
A = 50\cdot51 + 51\cdot52 + \cdots + 100\cdot101
e
B = 1^{3} + 2^{3} + \cdots + 100^{3}.
O conteúdo principal é soma de potências (somatório de quadrados, somatório de termos e somatório de cubos). Vamos usar as fórmulas fechadas conhecidas para esses somatórios.

Passo 2

Note que
n(n+1) = n^2 + n,
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A = \sum_{n=50}^{100} n(n+1) = \sum_{n=50}^{100} n^2 \;+\;\sum_{n=50}^{100} n.
Para calcular cada somatório de 50 a 100, vamos subtrair os somatórios de 1 a 49 dos somatórios de 1 a 100.

Passo 3

As fórmulas gerais são
\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}, \quad \sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.
Para N=100:
\sum_{n=1}^{100} n = \frac{100\cdot101}{2} = 5050, \quad \sum_{n=1}^{100} n^2 = \frac{100\cdot101\cdot201}{6} = 338350.
Para N=49:
\sum_{n=1}^{49} n = \frac{49\cdot50}{2} = 1225, \quad \sum_{n=1}^{49} n^2 = \frac{49\cdot50\cdot99}{6} = 40425.
Logo,
\sum_{n=50}^{100} n = 5050 - 1225 = 3825, \qquad \sum_{n=50}^{100} n^2 = 338350 - 40425 = 297925.

Passo 4

Agora calculamos A:
A = \sum_{n=50}^{100} n^2 + \sum_{n=50}^{100} n = 297925 + 3825 = 301750.

Passo 5

Para B usamos a fórmula da soma dos cubos:
\sum_{k=1}^{N} k^3 = \Bigl(\frac{N(N+1)}{2}\Bigr)^{2}.
Para N=100:
B = \sum_{k=1}^{100} k^3 = \Bigl(\frac{100\cdot101}{2}\Bigr)^{2} = 5050^2 = 25502500.

Passo 6

Finalmente,
A+B = 301750 + 25502500 = 25804250.

Resposta

25804250

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