Calcule \sum_{k=0}^{n} k^{2} C_{n}^{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}.
Isso envolve identidades com somas de potências de k ponderadas por coeficientes binomiais, que podemos obter a partir da função geradora
(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar
\sum_{k=0}^{n} k\,\binom{n}{k}.
Diferenciando (1+x)^{n} em relação a x temos
\frac{d}{dx}(1+x)^{n} = n(1+x)^{n-1}
e, por outro lado,
\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k} = \sum_{k=0}^{n}k\,\binom{n}{k}x^{k-1}.
Multiplicando por x e avaliando em x=1
\sum_{k=0}^{n}k\,\binom{n}{k} = n\cdot1\cdot(1+1)^{\,n-1} = n\,2^{\,n-1}.

Passo 3

Agora obtemos
\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\,\binom{n}{k}.
Basta diferenciar duas vezes:
\frac{d^{2}}{dx^{2}}(1+x)^{n} = n(n-1)(1+x)^{n-2},
logo, seguindo raciocínio análogo e avaliando em x=1,
\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\,\binom{n}{k} = n(n-1)\,2^{\,n-2}.

Passo 4

Repare que
k^{2} = k(k-1) + k.
Portanto
\sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k} = \sum_{k=0}^{n}k(k-1)\binom{n}{k} + \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k} = n(n-1)2^{\,n-2} + n\,2^{\,n-1}.
Fatorando 2^{\,n-2}:
n(n-1)2^{\,n-2} + n\,2^{\,n-1} =2^{\,n-2}\bigl[n(n-1) + 2n\bigr] = n(n+1)\,2^{\,n-2}.

Resposta

\sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k} = n(n+1)\,2^{\,n-2}.

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