Calcule \sum_{k=0}^{n}(k+1) C_{n}^{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}.
O conteúdo envolvido é o Teorema Binomial e propriedades de soma de coeficientes binomiais.

Passo 2

Note que podemos separar a soma em duas partes:
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k} =\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.

Passo 3

Pelo Teorema Binomial aplicado a (1+1)^n temos
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n.

Passo 4

Para \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k} usamos o fato de que
(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k.
Derivando em x e avaliando em x=1
\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n\cdot2^{\,n-1}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k} =n2^{\,n-1}+2^n =2^{\,n-1}(n+2).

Resposta

2^{\,n-1}(n+2)

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