Determine o coeficiente de x^{28} no desenvolvimento de \left(2 x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{12}.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{28} em \bigl(2x^{4}-x^{-1}\bigr)^{12}. Vamos usar o binômio de Newton, que nos dá a expansão de \bigl(a+b\bigr)^{n}.

Passo 2

Pela fórmula do binômio de Newton,
\bigl(2x^{4}-x^{-1}\bigr)^{12} =\sum_{k=0}^{12}\binom{12}{k}\,(2x^{4})^{k}\,(-x^{-1})^{12-k}.
Em cada termo genérico temos o fator em x dado por
x^{4k}\;x^{-(12-k)}=x^{4k-(12-k)}=x^{5k-12}.

Passo 3

Precisamos de 5k-12=28. Resolvendo,
5k=40 \quad\Longrightarrow\quad k=8.
Portanto, só o termo com k=8 gera x^{28}.

Passo 4

O coeficiente desse termo é
\binom{12}{8}\,2^{8}\,(-1)^{12-8} =\binom{12}{8}\,2^{8}\,(-1)^{4} =\binom{12}{8}\,2^{8}.
Como \binom{12}{8}=\binom{12}{4}=495 e 2^{8}=256, segue
495\times256=126720.

Resposta

O coeficiente de x^{28} é 126720.

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