Calcule
onde o
é o caminho poligonal constituído pelos segmentos de reta de
para
, de
para
, de
para
e de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de
ao longo de um caminho poligonal
. Isso envolve assuntos de cálculo complexo, especificamente integrais de linha no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento do caminho e integrar
em cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o caminho
em quatro segmentos:
- De
para - De
para - De
para - De
para
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De
para
Aqui, podemos parametrizar
como uma função de
:
Então, a derivada
é:
Agora,
. Então, a integral fica:
Passo 4
Segmento 2: De
para
Parametrizamos
linearmente entre 2 e
:
Derivando:
Calculando
:
Então, a integral é:
Calculando a integral:
Multiplicando pelo fator:
Passo 5
Segmento 3: De
para
Parametrizamos
entre
e
:
Derivando:
Calculando
:
Então, a integral é:
Calculando a integral:
Multiplicando pelo fator:
Passo 6
Segmento 4: De
para
Parametrizamos
entre
e
:
Derivando:
Calculando
:
Então, a integral é:
Calculando a integral:
Multiplicando pelo fator:
Resposta
Somando todas as integrais dos quatro segmentos:
Portanto, o valor da integral é: