Calcule integralgamma|z|^2 d z onde o gamma é o caminho poligonal constituído pelos segmentos de reta de z=0 para z=2, de z=2 para z=1+i, de z=1+i para z=i e de z=i para z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de |z|^2 ao longo de um caminho poligonal gamma. Isso envolve assuntos de cálculo complexo, especificamente integrais de linha no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento do caminho e integrar |z|^2 em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o caminho gamma em quatro segmentos:
  1. De z = 0 para z = 2
  2. De z = 2 para z = 1 + i
  3. De z = 1 + i para z = i
  4. De z = i para z = 0
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De z = 0 para z = 2
Aqui, podemos parametrizar z como uma função de t :
z(t) = 2t com t in [0, 1]
Então, a derivada dz é:
dz = 2 dt
Agora, |z|^2 = |2t|^2 = (2t)^2 = 4t^2 . Então, a integral fica:
integral0^1 4t^2 cdot 2 dt = 8 integral0^1 t^2 dt = 8 [ t^33 ]0^1 = 8 ( 13 - 0 ) = 83

Passo 4

Segmento 2: De z = 2 para z = 1 + i
Parametrizamos z linearmente entre 2 e 1 + i:
z(t) = 2 + (1 + i - 2)t = 2 - t + it com t in [0, 1]
Derivando:
dz = (-1 + i) dt
Calculando |z|^2 :
|z|^2 = |2 - t + it|^2 = (2 - t)^2 + (t)^2 = 4 - 4t + t^2 + t^2 = 4 - 4t + 2t^2
Então, a integral é:
integral0^1 (4 - 4t + 2t^2)(-1 + i) dt = (-1 + i) integral0^1 (4 - 4t + 2t^2) dt
Calculando a integral:
integral0^1 (4 - 4t + 2t^2) dt = [ 4t - 2t^2 + 23t^3 ]0^1 = 4 - 2 + 23 = 2 + 23 = 83
Multiplicando pelo fator:
(-1 + i) cdot 83 = -83 + i cdot 83

Passo 5

Segmento 3: De z = 1 + i para z = i
Parametrizamos z entre 1 + i e i:
z(t) = (1 + i) + (-1)t = 1 - t + i com t in [0, 1]
Derivando:
dz = -1 dt
Calculando |z|^2 :
|z|^2 = |1 - t + i|^2 = (1 - t)^2 + 1^2 = 1 - 2t + t^2 + 1 = 2 - 2t + t^2
Então, a integral é:
integral0^1 (2 - 2t + t^2)(-1) dt = -integral0^1 (2 - 2t + t^2) dt
Calculando a integral:
integral0^1 (2 - 2t + t^2) dt = [ 2t - t^2 + 13t^3 ]0^1 = 2 - 1 + 13 = 1 + 13 = 43
Multiplicando pelo fator:
- 43

Passo 6

Segmento 4: De z = i para z = 0
Parametrizamos z entre i e 0:
z(t) = i(1 - t) com t in [0, 1]
Derivando:
dz = -i dt
Calculando |z|^2 :
|z|^2 = |i(1 - t)|^2 = (1 - t)^2
Então, a integral é:
integral0^1 (1 - t)^2 (-i) dt = -i integral0^1 (1 - t)^2 dt
Calculando a integral:
integral0^1 (1 - t)^2 dt = [ t - t^2 + t^33 ]0^1 = 1 - 1 + 13 = 13
Multiplicando pelo fator:
- i cdot 13 = -i3

Resposta

Somando todas as integrais dos quatro segmentos:
83 + (-83 + 83i) + (-43) + (-i3) = (83 - 83 - 43) + (83i - i3) = -43 + 73i
Portanto, o valor da integral é:
-43 + 73i

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