Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^prime prime-2 y^prime+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + 3y = 0
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, usamos o polinômio característico e a teoria de raízes complexas.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à EDO:
r^2 - 2r + 3 = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de
r^2 - 2r + 3 = 0:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot32cdot1 = 2 pm raiz4 - 122 = 2 pm raiz-82 = 1 pm iraiz2

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = 1 pm iraiz2, pela teoria de EDOs lineares homogêneas a solução geral é da forma
y(x) = e^axl(C1cos(bx) + C2sin(bx)r),
onde a = 1 e b = raiz2.

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x)r),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados