Considere o campo de vetores em
dado por
, a curva
dada pelo segmento de reta partindo do ponto
até
e a curva
dada pelo arco da parábola
ligando
até
;
é conservativo?
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores em
e pergunta se
é conservativo. Para responder, vamos usar o critério de igualdade de derivadas parciais em um domínio simplesmente conexo e, em seguida, encontrar uma potencial.
Passo 2
Em
(que é simplesmente conexo), um campo
é conservativo se, e somente se,
Passo 3
Calculemos as derivadas:
Como
em todo
, o critério está satisfeito.
Passo 4
Para confirmar, encontramos uma função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Derivando em relação a
,
e igualando a
obtemos
. Logo
é constante e
Isso mostra que
é o gradiente de
.
Resposta
Sim,
é conservativo.