Considere o campo de vetores em R^2 dado por F(x, y)=(3 x^2+2 x y, x^2), a curva C1 dada pelo segmento de reta partindo do ponto A=(-1,1) até B=(1,1) e a curva C2 dada pelo arco da parábola y=x^2 ligando A até B;
F é conservativo?

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores em R^2
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=3x^2+2xy, Q(x,y)=x^2,
e pergunta se F é conservativo. Para responder, vamos usar o critério de igualdade de derivadas parciais em um domínio simplesmente conexo e, em seguida, encontrar uma potencial.

Passo 2

Em R^2 (que é simplesmente conexo), um campo F=(P,Q) é conservativo se, e somente se,
partial Ppartial y(x,y) ;=; partial Qpartial x(x,y) para todo (x,y)

Passo 3

Calculemos as derivadas:
partial Ppartial y(x,y) =partialpartial y(3x^2+2xy) =2x,
partial Qpartial x(x,y) =partialpartial x(x^2) =2x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, o critério está satisfeito.

Passo 4

Para confirmar, encontramos uma função potencial varphi(x,y) tal que nablavarphi=F. Integramos P em relação a x:
varphi(x,y) =integral(3x^2+2xy),dx =x^3+x^2y+g(y)
Derivando em relação a y,
partialvarphipartial y =x^2+g'(y)
e igualando a Q(x,y)=x^2 obtemos g'(y)=0. Logo g é constante e
varphi(x,y)=x^3+x^2y+const
Isso mostra que F é o gradiente de varphi.

Resposta

Sim, F é conservativo.

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