Calcule integralC y^2 d x+x^2 d y, onde C é metade superior da elipse x=a cos t, y= b sen t, que segue no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede
I=integralCy^2,dx + x^2,dy
onde C é a semielipse superior dada por
x=acos t, y=bsen t,
percorrida no sentido horário.
Para resolver vamos parametrizar C em função de t e ajustar o sinal para o sentido horário.

Passo 2

Usando
x=acos t, y=bsen t,
temos
dx=-asen t,dt, dy=bcos t,dt
Se usássemos t de 0 a pi obteríamos a semielipse superior no sentido anti-horário. Como queremos o sentido horário, basta introduzir um menos global mais adiante.

Passo 3

Substituindo na forma diferencial, em primeiro lugar sem o menos de orientação,
y^2,dx + x^2,dy =(bsen t)^2(-asen t,dt)+(acos t)^2(bcos t,dt) =-a b^2sen^3t,dt +a^2bcos^3t,dt
Como o percurso desejado é no sentido horário, invertemos os limites de 0topi ou, equivalentemente, colocamos um fator -1. Logo
I=-integral0^pil(-a b^2sen^3t +a^2bcos^3tr),dt =integral0^pil(a b^2sen^3t -a^2bcos^3tr),dt

Passo 4

Separando e usando resultados padrões:
integral0^pisen^3t,dt=tfrac43, integral0^picos^3t,dt=0
Portanto
I =a b^2integral0^pisen^3t,dt ;-;a^2bintegral0^picos^3t,dt =a b^2cdottfrac43-a^2bcdot0 =tfrac4ab^23

Resposta

boxed4ab^23

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