Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=x e^y i+y e^x j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se F(x,y) = x e^y,vec i + y e^x,vec j é conservativo em R^2, e caso seja, encontrar f tal que nabla f = F. Em duas dimensões, num domínio simplesmente conexo como R^2, basta testar se
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x,
onde P(x,y)=x e^y e Q(x,y)=y e^x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(x e^yr) =x e^y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(y e^xr) =y e^x
Como em geral x e^yneq y e^x, as duas derivadas não coincidem.

Passo 3

A desigualdade partial P/partial y neq partial Q/partial x implica que F não é um campo vetorial conservativo em R^2. Portanto não existe função potencial f global com nabla f=F.

Resposta

F não é um campo vetorial conservativo.

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