Determine uma equação do plano tangente à superfície x=u+v, y= 3 v^2, z=u-v no ponto ( 2,3,0 ). ( R: 3 x-y+3 z=3 )

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para determinar a equação do plano tangente à superfície dada pelas equações x = u + v , y = 3v^2 , e z = u - v no ponto (2, 3, 0) . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais para encontrar planos tangentes. Vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o ponto (2, 3, 0) pertence à superfície definida pelas equações x = u + v , y = 3v^2 , e z = u - v . Para isso, vamos encontrar os valores de u e v que satisfazem essas equações.

Passo 3

Vamos igualar as coordenadas:
x = u + v Rightarrow 2 = u + v
y = 3v^2 Rightarrow 3 = 3v^2 Rightarrow v^2 = 1 Rightarrow v = pm 1
z = u - v Rightarrow 0 = u - v Rightarrow u = v
Substituindo u = v na primeira equação:
2 = v + v Rightarrow 2 = 2v Rightarrow v = 1
Então, u = 1 .

Passo 4

Agora que temos u = 1 e v = 1 , confirmamos que o ponto (2, 3, 0) está na superfície. Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar o plano tangente.

Passo 5

As derivadas parciais da superfície em relação a u e v são:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 1
partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 6v
partial zpartial u = 1, partial zpartial v = -1

Passo 6

No ponto u = 1 e v = 1 , as derivadas avaliam-se para:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 1
partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 6 times 1 = 6
partial zpartial u = 1, partial zpartial v = -1

Passo 7

O vetor normal ao plano tangente pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores tangentes:
N = ( partial rpartial u ) times ( partial rpartial v )
Onde partial rpartial u = (1, 0, 1) e partial rpartial v = (1, 6, -1) .

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
N = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 6 & -1 = i(0 times (-1) - 1 times 6) - j(1 times (-1) - 1 times 1) + k(1 times 6 - 0 times 1)
N = i(-6) - j(-2) + k(6) = (-6, 2, 6)

Passo 9

Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2:
N = (-3, 1, 3)
Este é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 10

A equação do plano tangente é dada por:
N cdot (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) = (2, 3, 0) . Substituindo os valores:
-3(x - 2) + 1(y - 3) + 3(z - 0) = 0
-3x + 6 + y - 3 + 3z = 0
-3x + y + 3z + 3 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
3x - y - 3z = 3

Resposta

A equação do plano tangente é 3x - y + 3z = 3 .

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