Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto ( ). ( R: )
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para determinar a equação do plano tangente à superfície dada pelas equações , , e no ponto . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais para encontrar planos tangentes. Vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o ponto pertence à superfície definida pelas equações , , e . Para isso, vamos encontrar os valores de e que satisfazem essas equações.
Passo 3
Vamos igualar as coordenadas:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Passo 4
Agora que temos e , confirmamos que o ponto está na superfície. Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar o plano tangente.
Passo 5
As derivadas parciais da superfície em relação a e são:
Passo 6
No ponto e , as derivadas avaliam-se para:
Passo 7
O vetor normal ao plano tangente pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores tangentes:
Onde e .
Passo 8
Calculando o produto vetorial:
N = i(-6) - j(-2) + k(6) = (-6, 2, 6)
Passo 9
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2:
N = (-3, 1, 3)
Este é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 10
A equação do plano tangente é dada por:
N cdot (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) = (2, 3, 0) . Substituindo os valores:
-3(x - 2) + 1(y - 3) + 3(z - 0) = 0
-3x + 6 + y - 3 + 3z = 0
-3x + y + 3z + 3 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar: