Prove um dê um contra-exemplo:
Se
são duas curvas tais que
, então
possuem o mesmo comprimento).
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar ou dar um contra-exemplo para a afirmação de que se temos duas curvas,
e
, definidas no intervalo
e sempre a uma distância constante
uma da outra, então o comprimento dessas duas curvas,
e
, será o mesmo. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre comprimento de curvas no espaço euclidiano
e noções básicas de distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
e
estão sempre a uma distância
uma da outra. Isso quer dizer que, para qualquer valor de
no intervalo
, a distância entre
e
é exatamente
. Em termos matemáticos, isso é expresso por:
Aqui,
representa a norma euclidiana, que calcula a distância entre dois pontos no espaço.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva. O comprimento de uma curva
é dado pela integral da norma da sua derivada em relação a
:
Isso significa que para encontrar o comprimento da curva, precisamos integrar a velocidade (a norma da derivada) ao longo do intervalo
.
Passo 4
Para provar que
, precisamos mostrar que:
No entanto, o fato de as curvas estarem sempre a uma distância constante
não nos dá, de imediato, informações diretas sobre as derivadas delas. Portanto, precisamos pensar em um contra-exemplo para verificar se a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Vamos considerar um contra-exemplo simples no espaço bidimensional
. Suponha que:
-
, que é uma linha reta ao longo do eixo de até . -
, que é uma linha reta paralela à , mas deslocada verticalmente a uma distância no eixo .
Aqui, para qualquer
, a distância entre
e
é:
Então, a condição do enunciado é satisfeita.
Passo 6
Vamos calcular os comprimentos das curvas:
Para
:
Para
:
Conclusão
Neste caso particular, os comprimentos das duas curvas são iguais,
. Contudo, isso não garante que seja sempre assim para quaisquer curvas que estejam sempre a uma distância
uma da outra.
Passo 7
Vamos pensar em outro exemplo mais elaborado. Considere duas curvas circulares de raio
no plano, mas que estão deslocadas uma da outra de forma que a distância entre quaisquer pontos correspondentes é constante
.
No entanto, se rotacionarmos uma das curvas em relação à outra, mantendo a distância constante
, podemos alterar o comprimento de uma das curvas sem afetar a distância entre elas.
Isso mostra que mesmo mantendo a distância constante, é possível ter curvas com comprimentos diferentes.
Resposta
Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral. Existem contra-exemplos onde duas curvas mantêm uma distância constante
entre si, mas possuem comprimentos diferentes. Assim, não podemos afirmar que
apenas com a condição dada.