Calcule integral triplaS raizx^2+y^2 d V onde S é sólido limitado por cima pelo superfície de equação z=4-raizx^2+y^2 por baixo pelo plano de equação z=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaSraizx^2+y^2;dV
onde S é o sólido limitado por cima por z=4-raizx^2+y^2 e por baixo pelo plano z=0. O conteúdo principal é usar coordenadas cilíndricas para explorar a simetria circular da região.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
de modo que
raizx^2+y^2 = r
e
dV = r,dr,dtheta,dz
A superfície z=4-raizx^2+y^2 vira z=4-r, logo os limites são
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 4, 0 <= z <= 4-r

Passo 3

Substituindo no integral, obtemos
integraltheta=0^2piintegralr=0^4integralz=0^4-r r ,l(r,dz,dr,dthetar) = integral0^2piintegral0^4r^2,l(integral0^4-rdzr),dr,dtheta
Como integral0^4-rdz = 4-r, isso reduz para
integral0^2piintegral0^4r^2(4-r),dr,dtheta

Passo 4

Primeiro calculemos a integral em r:
integral0^4r^2(4-r),dr = integral0^4(4r^2-r^3),dr = l[tfrac43r^3-tfrac14r^4r]0^4 = tfrac2563-64 = tfrac643

Passo 5

Finalmente, integramos em theta:
integral0^2pidtheta;cdottfrac643 = 2picdottfrac643 = tfrac128pi3

Resposta

128pi3

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