Calcule o volume do sólido S limitado pelas superfícies de equações z=7, z=4 e z=8-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido S limitado pelas superfícies z=7, z=4 e z=8 - x^2 - y^2. Para resolver isso, vamos usar o método de fatiamento por planos horizontais, calculando a área de cada seção em função de z.

Passo 2

Determinar as interseções do paraboloide com os planos:
  • Em z=7:
7 = 8 - x^2 - y^2 Longrightarrow x^2+y^2 = 1
  • Em z=4:
4 = 8 - x^2 - y^2 Longrightarrow x^2+y^2 = 4
Logo, para z variando de 4 até 7, a seção transversal em (x,y) é o disco de raio
r(z) = raiz8 - z
Isso leva à expressão do volume por integral de fatiamento:
V = integralz=4^7 l[área do disco de raio r(z)r],dz = integral4^7 pil(r(z)r)^2,dz = integral4^7 pi,(8 - z),dz á

Passo 3

Calcular a integral:
V = pi integral4^7 (8 - z),dz = pi l[,8z - tfracz^22r]4^7 = pi l(l(8cdot7 - tfrac7^22r) - l(8cdot4 - tfrac4^22r)r)

Passo 4

Fazendo as contas:
8cdot7 - tfrac7^22 = 56 - tfrac492 = tfrac632, 8cdot4 - tfrac4^22 = 32 - 8 = 24,
V = pil(tfrac632 - 24r) = pi,tfrac63 - 482 = tfrac152,pi

Resposta

152,pi

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