Calcule o volume da região do primeiro octante que fica abaixo do plano de equação
e acima do plano de equação
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região no primeiro octante (ou seja,
,
,
) que fica entre o plano superior
e o plano inferior
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar essa região no plano
e integrar a diferença
.
Passo 2
Para achar a projeção
no plano
, impomos
além de
e
. Reescrevendo
Então
é o triângulo em que
,
e
.
Passo 3
O volume é
Em coordenadas cartesianas, tomamos
logo
Passo 4
Fazendo a integral interna em
:
Ao simplificar isso, obtém-se
Passo 5
Agora integramos em
:
Resposta
O volume da região é
.