Calcule o volume da região do primeiro octante que fica abaixo do plano de equação z=4-x-y e acima do plano de equação z=2 x+2 y.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região no primeiro octante (ou seja, x>=0, y>=0, z>=0) que fica entre o plano superior
z = 4 - x - y
e o plano inferior
z = 2x + 2y
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar essa região no plano xy e integrar a diferença zsup-zinf.

Passo 2

Para achar a projeção D no plano xy, impomos
2x + 2y ;<=; 4 - x - y,
além de x>=0 e y>=0. Reescrevendo
3x + 3y <= 4 Longrightarrow x + y <= tfrac43
Então D é o triângulo em que x>=0, y>=0 e x+y<=43.

Passo 3

O volume é
V = integral duplaD l[(4 - x - y) - (2x + 2y)r],dA = integral duplaD l(4 - 3x - 3yr),dA
Em coordenadas cartesianas, tomamos
0 <= x <= tfrac43, 0 <= y <= tfrac43 - x,
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V = integralx=0^4/3 integraly=0^,4/3 - x l(4 - 3x - 3yr),dy,dx

Passo 4

Fazendo a integral interna em y:
integral0^,4/3 - x l(4 - 3x - 3yr),dy = (4 - 3x)l(tfrac43-xr) - tfrac32l(tfrac43-xr)^2
Ao simplificar isso, obtém-se
8/3 ;-;4x ;+;tfrac32x^2

Passo 5

Agora integramos em x:
V = integral0^4/3 l(tfrac83 - 4x + tfrac32x^2r),dx = l[tfrac83x ;-;2x^2 ;+;tfrac12x^3r]0^4/3 = 3227

Resposta

O volume da região é 3227.

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