Calcule o volume do sólido limitado por cima pelo superfície de equação
e por baixo pela superfície de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume entre duas superfícies: uma de cima, que é
, e outra de baixo, que é
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, que é bem útil quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas superfícies. A superfície de cima
é um cone invertido, e a de baixo
é outro cone. A interseção dessas duas superfícies nos dará os limites de onde o volume está sendo calculado.
Passo 3
Para achar onde esses cones se cruzam, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Então, o raio
na coordenada cilíndrica vai de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos montar o integral para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui,
é a superfície de cima e
a de baixo. A diferença entre elas dá a altura do sólido.
Passo 5
Vamos resolver o integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos a altura:
Então, o integral fica:
Resolvendo a integral em
:
Agora, integraremos em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.