Calcule o volume do sólido limitado por cima pelo superfície de equação z=4-raizx^2+y^2 e por baixo pela superfície de equação z=2+raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume entre duas superfícies: uma de cima, que é z = 4 - raizx^2 + y^2 , e outra de baixo, que é z = 2 + raizx^2 + y^2 . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, que é bem útil quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas superfícies. A superfície de cima z = 4 - raizx^2 + y^2 é um cone invertido, e a de baixo z = 2 + raizx^2 + y^2 é outro cone. A interseção dessas duas superfícies nos dará os limites de onde o volume está sendo calculado.

Passo 3

Para achar onde esses cones se cruzam, igualamos as duas equações:
4 - raizx^2 + y^2 = 2 + raizx^2 + y^2
Resolvendo isso:
4 - 2 = 2 raizx^2 + y^2
2 = 2 raizx^2 + y^2
1 = raizx^2 + y^2
x^2 + y^2 = 1
Então, o raio r na coordenada cilíndrica vai de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos montar o integral para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
V = integral0^2pi integral0^1 ( (4 - r) - (2 + r) ) r , dr , dtheta
Aqui, (4 - r) é a superfície de cima e (2 + r) a de baixo. A diferença entre elas dá a altura do sólido.

Passo 5

Vamos resolver o integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos a altura:
(4 - r) - (2 + r) = 2 - 2r
Então, o integral fica:
V = integral0^2pi integral0^1 (2 - 2r) r , dr , dtheta
V = integral0^2pi integral0^1 (2r - 2r^2) , dr , dtheta
Resolvendo a integral em r :
integral0^1 (2r - 2r^2) , dr = [ r^2 - 23r^3 ]0^1 = 1 - 23 = 13
Agora, integraremos em theta :
V = integral0^2pi 13 , dtheta = 13 times 2pi = 2pi3

Resposta

O volume do sólido é 2pi3 unidades cúbicas.

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