Calcule , onde é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano . Para isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, que é super útil para sólidos com simetria circular, como esse paraboloide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . O paraboloide abre para baixo e intercepta o plano quando . Então, vamos achar essa interseção:
Isso significa que a base do sólido é um círculo de raio no plano .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o volume elementar é
Essa mudança facilita porque a região possui simetria circular. Além disso, se transforma em nas coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos reescrever a integral na forma de coordenadas cilíndricas: