Calcule integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é o sólido limitado pelo paraboloide z=9-x^2-y^2 e pelo plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE raizx^2+y^2 , dV, onde E é o sólido limitado pelo paraboloide z = 9 - x^2 - y^2 e pelo plano xy. Para isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, que é super útil para sólidos com simetria circular, como esse paraboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região E. O paraboloide z = 9 - x^2 - y^2 abre para baixo e intercepta o plano xy quando z = 0. Então, vamos achar essa interseção:
0 = 9 - x^2 - y^2 implies x^2 + y^2 = 9
Isso significa que a base do sólido E é um círculo de raio 3 no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
  • E o volume elementar é dV = r , dz , dr , dtheta
Essa mudança facilita porque a região possui simetria circular. Além disso, raizx^2 + y^2 se transforma em r nas coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos reescrever a integral na forma de coordenadas cilíndricas:
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^3 integral0^9 - r^2 r cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, os limites de integração são:
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • r varia de 0 a 3, que é o raio do círculo na base.
  • z varia de 0 até o paraboloide z = 9 - r^2.

Passo 5

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral0^9 - r^2 r^2 , dz = r^2 cdot (9 - r^2 - 0) = r^2(9 - r^2)

Passo 6

Agora, substituímos na integral e resolvemos em r:
integral0^3 r^2(9 - r^2) , dr = integral0^3 (9r^2 - r^4) , dr
Integrando termo a termo:
integral 9r^2 , dr = 3r^3 e integral r^4 , dr = r^55
Portanto:
3r^3 - r^55 gr|0^3 = 3(27) - 2435 = 81 - 2435 = 4055 - 2435 = 1625

Passo 7

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 1625 , dtheta = 1625 cdot 2pi = 324pi5

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac324pi5.

Exercícios relacionados