Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
integral1^3 integral0^pi / 2 integralr^3 r d z d theta d r

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar um sólido cujo volume é dado pela integral tripla:
integral1^3 integral0^pi2 integralr^3 r , dz , dtheta , dr
Esse exercício envolve cálculo de volume usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como funcionam essas coordenadas e como interpretar os limites de integração para desenhar o sólido e calcular seu volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, cada ponto é descrito por três valores: r (distância do ponto até o eixo z), theta (ângulo em relação ao eixo x) e z (altura). A integral dada está nessa coordenada, então vamos entender cada limite:
  • r varia de 1 a 3: isso significa que o sólido está entre dois cilindros concêntricos com raios 1 e 3.
  • theta varia de 0 a pi2 : isso indica que o sólido está apenas no primeiro quadrante, já que pi2 radianos é 90 graus.
  • z varia de r a 3: a altura do sólido varia dependendo de r , começando em z = r até z = 3 .

Passo 3

Vamos esboçar esse sólido:
  1. Desenhamos dois cilindros concêntricos, um com raio 1 e outro com raio 3.
  2. Consideramos apenas a parte do cilindro onde theta vai de 0 a pi2 , ou seja, o primeiro quarto do cilindro.
  3. A altura z começa no valor igual a r e vai até 3. Isso significa que na base ( z = r ), o sólido começa mais próximo do eixo e se estende até uma altura constante de 3.
O sólido resultante é uma espécie de “fatia” de entre os cilindros, limitada no primeiro quadrante e com a parte inferior inclinada devido à variação de z .

Passo 4

Agora vamos calcular o volume usando a integral fornecida. A integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por:
V = integral1^3 integral0^pi2 integralr^3 r , dz , dtheta , dr
Vamos resolver passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a z :
integralr^3 r , dz = r [z]r^3 = r (3 - r) = 3r - r^2

Passo 5

Agora, integramos o resultado com respeito a theta :
integral0^pi2 (3r - r^2) , dtheta = (3r - r^2) [ theta ]0^pi2 = (3r - r^2) ( pi2 - 0 ) = pi2 (3r - r^2)

Passo 6

Por fim, integramos com respeito a r :
V = integral1^3 pi2 (3r - r^2) , dr = pi2 integral1^3 (3r - r^2) , dr
Vamos calcular essa integral:
integral (3r - r^2) , dr = 32 r^2 - 13 r^3
Avaliado de 1 a 3:
[ 32 r^2 - 13 r^3 ]1^3 = ( 32 times 9 - 13 times 27 ) - ( 32 times 1 - 13 times 1 ) = ( 272 - 9 ) - ( 32 - 13 )
Simplificando:
( 272 - 182 ) - ( 96 - 26 ) = 92 - 76 = 276 - 76 = 206 = 103

Resposta

Portanto, o volume do sólido é:
V = pi2 times 103 = 5pi3

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