Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar um sólido cujo volume é dado pela integral tripla:
Esse exercício envolve cálculo de volume usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como funcionam essas coordenadas e como interpretar os limites de integração para desenhar o sólido e calcular seu volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, cada ponto é descrito por três valores:
(distância do ponto até o eixo z),
(ângulo em relação ao eixo x) e
(altura). A integral dada está nessa coordenada, então vamos entender cada limite:
-
varia de 1 a 3: isso significa que o sólido está entre dois cilindros concêntricos com raios 1 e 3. -
varia de 0 a : isso indica que o sólido está apenas no primeiro quadrante, já que radianos é 90 graus. -
varia de a 3: a altura do sólido varia dependendo de , começando em até .
Passo 3
Vamos esboçar esse sólido:
- Desenhamos dois cilindros concêntricos, um com raio 1 e outro com raio 3.
- Consideramos apenas a parte do cilindro onde
vai de 0 a , ou seja, o primeiro quarto do cilindro. - A altura
começa no valor igual a e vai até 3. Isso significa que na base ( ), o sólido começa mais próximo do eixo e se estende até uma altura constante de 3.
O sólido resultante é uma espécie de “fatia” de entre os cilindros, limitada no primeiro quadrante e com a parte inferior inclinada devido à variação de
.
Passo 4
Agora vamos calcular o volume usando a integral fornecida. A integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por:
Vamos resolver passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Agora, integramos o resultado com respeito a
:
Passo 6
Por fim, integramos com respeito a
:
Vamos calcular essa integral:
Avaliado de 1 a 3:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o volume do sólido é: