Calcule:
A=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 5 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 10 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3:
A=\operatorname{det}\begin{pmatrix}3 & -1 & 5 \\[4pt] 0 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 10 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz é 3\times3.
  • Elementos da primeira coluna: a_{11}=3, a_{21}=0, a_{31}=0.
    A pergunta é: qual o valor de \det(A)?]

Passo 2

Estratégia escolhida: usar a expansão por cofatores (expansão de Laplace) ao longo da primeira coluna, porque nessa coluna há dois zeros e isso simplifica muito as contas.
Explicando o método (aula rápida e prática):
  • Para uma matriz 3\times3, a expansão por cofatores ao longo da coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{3} a_{ij}C_{ij},
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j, e C_{ij} é o cofator dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • Aqui M_{ij} é o menor obtido ao remover a linha i e a coluna j; para uma matriz 3\times3, M_{ij} é um determinante 2\times2.
  • Observação útil: se uma coluna (ou linha) tem muitos zeros, a expansão por essa coluna (ou linha) tem poucos termos não nulos — por isso escolhemos a primeira coluna.

Passo 3

Aplicando a expansão por cofatores na primeira coluna ( j=1):
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}.
Substituindo os elementos conhecidos a_{11}=3, a_{21}=0, a_{31}=0:
\det(A)=3\cdot C_{11}+0\cdot C_{21}+0\cdot C_{31}=3\cdot C_{11}.
Ou seja, só precisamos calcular C_{11}.

Passo 4

Calcular o cofator C_{11}.
  • Primeiro o menor M_{11} é o determinante da matriz 2\times2 obtida removendo linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 10 & 0\end{pmatrix}.
  • Determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ad-bc. Aqui:
M_{11}=2\cdot 0 - 0\cdot 10 = 0.
  • O sinal do cofator para (1,1) é (-1)^{1+1}=1. Logo
C_{11}=1\cdot M_{11}=0.]

Passo 5

Agora voltamos à expansão:
\det(A)=3\cdot C_{11}=3\cdot 0 = 0.
Portanto o determinante é zero.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): há outra maneira rápida de ver que o determinante é zero sem expandir — linhas (ou colunas) linearmente dependentes implicam determinante zero. Aqui a segunda linha é \begin{pmatrix}0 & 2 & 0\end{pmatrix} e a terceira linha é \begin{pmatrix}0 & 10 & 0\end{pmatrix}, e nota-se que a terceira linha é 5 vezes a segunda:
\begin{pmatrix}0 & 10 & 0\end{pmatrix}=5\cdot\begin{pmatrix}0 & 2 & 0\end{pmatrix}.
Duas linhas proporcionais significam dependência linear, portanto \det(A)=0. É um truque rápido para provas.

Resposta

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