Classificar e resolver os sistemas.
\left\{ \begin{aligned} x+4 y+6 z & =0 \\\\ -\frac{3}{2}-6 y-9 z & =0 \end{aligned} \right.\\

Passo 1

O enunciado fornece o sistema com incógnitas x,y,z:
\left\{ \begin{aligned} x+4y+6z&=0,\\[4pt] -\dfrac{3}{2}-6y-9z&=0. \end{aligned} \right.
O que se pede:
  • Classificar o sistema (compatível/incompatível; determinado/indeterminado).
  • Resolver o sistema (encontrar todas as soluções).]

Passo 2

Estratégia: aqui temos duas equações e três incógnitas, então é provável que o sistema tenha livre(s) parâmetro(s). Vou simplificar a segunda equação para extrair uma relação entre y e z, e depois usar a primeira para obter x. Também explico o que significa cada classificação:
  • Um sistema é compatível se existe pelo menos uma solução; é incompatível se não existe solução.
  • Se for compatível e tiver exatamente uma solução diz-se determinado; se tiver infinitas soluções diz-se indeterminado.
    Método usado: manipulação algébrica (eliminação / substituição). Multiplicar uma equação por constante e somar/subtrair equações preserva equivalência.

Passo 3

Tratar a segunda equação para ficar sem frações e mais simples. A segunda equação é
-\dfrac{3}{2}-6y-9z=0.
Levo o termo constante para o outro lado ou simplifico multiplicando por -1. Primeiro passo: multiplicar por -1
\dfrac{3}{2}+6y+9z=0.
Agora isolo os termos em y,z:
6y+9z=-\dfrac{3}{2}.
Para eliminar a fração, multiplico toda a equação por 2:
12y+18z=-3.
Divido ambos os lados por 3 (dividir por um número não nulo mantém equivalência):
4y+6z=-1.

Passo 4

Agora compare com a primeira equação, que é
x+4y+6z=0.
Note que a expressão 4y+6z aparece em ambas as equações. Da equação do Passo 3 sabemos que
4y+6z=-1.
Substituo essa expressão na primeira equação:
x + \bigl(4y+6z\bigr)=0\quad\Rightarrow\quad x+(-1)=0.
Portanto
x=1.

Passo 5

Com x determinado, resta a relação entre y e z dada por
4y+6z=-1.
Isto é uma única equação linear com duas incógnitas, logo existe um grau de liberdade (uma variável livre). Escolho parametrizar por t\in\mathbb{R} definindo z=t. Então resolvo para y:
4y+6t=-1\quad\Rightarrow\quad 4y=-1-6t\quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{6}{4}t.
Simplificando a fração:
y=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}t.

Passo 6

Escrevo a solução geral em função do parâmetro t. Temos
x=1,\qquad y=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}t,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Em forma de conjunto:
\{(x,y,z)=(1,\;-\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{2}t,\;t)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 7

Classificação pelo conceito de posto: a matriz de coeficientes tem posto 2 (as duas equações são linearmente independentes entre si) e a matriz aumentada também tem posto 2; o número de incógnitas é 3. Como \text{posto}=2=\text{posto\_aumentada}<3, o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções, uma família de dimensão 1). Isso confirma a parametrização acima.

Resposta

Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
\displaystyle \{(x,y,z)=(1,\;-\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{2}t,\;t)\mid t\in\mathbb{R}\}

Exercícios relacionados