Calcule:
A=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 2 \\\\ 3 & -1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
A=\det\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\[4pt] 3 & -1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Dados fornecidos (os elementos da matriz):
a_{11}=-1,\quad a_{12}=3,\quad a_{13}=2,
a_{21}=3,\quad a_{22}=-1,\quad a_{23}=1,
a_{31}=2,\quad a_{32}=1,\quad a_{33}=-1.]

Passo 2

Método escolhido: expansão por cofatores (fórmula direta para matriz 3\times3). Justificativa rápida: é um método direto, mecânico e seguro para matrizes 3\times3 que dá resultado rapidamente sem manipular linhas — ideal para prova quando se é pedido o determinante explicitamente.
A fórmula geral para o determinante de uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij} é
\det(A)=a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr) -a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr) +a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr).
Explicando: cada termo é um elemento da primeira linha multiplicado pelo determinante da submatriz que sobra quando se elimina a linha e a coluna desse elemento; os sinais alternam +,-,+.

Passo 3

Calcular o primeiro termo da soma:
a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr) =(-1)\bigl((-1)\cdot(-1)-1\cdot1\bigr).
Agora avaliar o parêntese:
(-1)\cdot(-1)=1,\qquad 1\cdot1=1,\qquad 1-1=0.
Logo o primeiro termo vale
(-1)\cdot 0 = 0.

Passo 4

Calcular o segundo termo (note o sinal negativo na fórmula):
-\,a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr) =-3\bigl(3\cdot(-1)-1\cdot2\bigr).
Avaliar o parêntese:
3\cdot(-1)=-3,\qquad 1\cdot2=2,\qquad -3-2=-5.
Portanto o segundo termo é
-3\cdot(-5)=15.

Passo 5

Calcular o terceiro termo:
a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr) =2\bigl(3\cdot1-(-1)\cdot2\bigr).
Avaliar o parêntese:
3\cdot1=3,\qquad (-1)\cdot2=-2,\qquad 3-(-2)=3+2=5.
Então o terceiro termo é
2\cdot 5 = 10.

Passo 6

Somar os três termos para obter o determinante:
\det(A)=0 + 15 + 10 = 25.
Resultado final encontrado: 25.

Resposta

\,A=25

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