A pergunta final é: qual é \det(A)? (Há opções de resposta numeradas de (A) a (F).)]
Passo 2
Antes de começar a manipular a matriz, vamos revisar propriedades de determinante que vou usar (explicando como e por que elas funcionam de forma simples):
Trocar duas linhas troca o sinal do determinante. Ou seja, se B é obtida de A trocando duas linhas, então \det(B)=-\det(A).
Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em símbolos: se B é obtida de A substituindo a linha i por linha i + k\timeslinha j (com i\neq j), então \det(B)=\det(A).
Se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou usar essas regras para transformar A numa forma triangular, facilitando o cálculo do determinante. Em cada passo explico o porquê da operação e seu efeito sobre o determinante.
Passo 3
Procuro um pivô simples na primeira coluna; note que a segunda linha tem um 1 na primeira coluna. Para facilitar eliminações, troco a linha 1 pela linha 2. Ou seja, troco R_1 com R_2.
Trocar linhas inverte o sinal do determinante, então após a troca a nova matriz A_1 satisfaz
Agora uso operações do tipo “somar múltiplo de uma linha à outra” para zerar os elementos abaixo do pivô 1 da primeira coluna. Essas operações não alteram o determinante.
Faço:
R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 para eliminar o -2 em posição (3,1).
R_4 \leftarrow R_4 - R_1 para eliminar o 1 em posição (4,1).
e vale \det(A_2)=\det(A_1) porque só usei adição de múltiplos de linhas.]
Passo 5
Para continuar, quero zerar os elementos abaixo do pivô 7 na posição (2,2). Uma maneira direta é subtrair a linha 2 das linhas 3 e 4. Essas operações também não alteram o determinante.
Agora A_3 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares vale que o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim
\det(A_3)=1\cdot 7\cdot 1\cdot (-2) = -14.
Passo 7
Lembrando que na Passo 3 troquei as linhas R_1 e R_2, o que introduziu um sinal negativo: \det(A_1)=-\det(A). Como \det(A_3)=\det(A_1), temos