Q8: Calcule \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{rrrr}0 & 7 & 7 & 7 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & 5 & 6 & 3 \\\\ 1 & 8 & 8 & 6\end{array}\right]\right).
(A) 14
(B) 15
(C) 16
(D) 17
(E) 18
(F) 19

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4
A=\begin{pmatrix} 0 & 7 & 7 & 7\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] -2 & 5 & 6 & 3\\[4pt] 1 & 8 & 8 & 6 \end{pmatrix}.
A pergunta final é: qual é \det(A)? (Há opções de resposta numeradas de (A) a (F).)]

Passo 2

Antes de começar a manipular a matriz, vamos revisar propriedades de determinante que vou usar (explicando como e por que elas funcionam de forma simples):
  • Trocar duas linhas troca o sinal do determinante. Ou seja, se B é obtida de A trocando duas linhas, então \det(B)=-\det(A).
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em símbolos: se B é obtida de A substituindo a linha i por linha i + k \timeslinha j (com i\neq j), então \det(B)=\det(A).
  • Se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou usar essas regras para transformar A numa forma triangular, facilitando o cálculo do determinante. Em cada passo explico o porquê da operação e seu efeito sobre o determinante.

Passo 3

Procuro um pivô simples na primeira coluna; note que a segunda linha tem um 1 na primeira coluna. Para facilitar eliminações, troco a linha 1 pela linha 2. Ou seja, troco R_1 com R_2.
Trocar linhas inverte o sinal do determinante, então após a troca a nova matriz A_1 satisfaz
\det(A_1)=-\det(A).
A matriz após a troca é
A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 7 & 7 & 7\\[4pt] -2 & 5 & 6 & 3\\[4pt] 1 & 8 & 8 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso operações do tipo “somar múltiplo de uma linha à outra” para zerar os elementos abaixo do pivô 1 da primeira coluna. Essas operações não alteram o determinante.
Faço:
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 para eliminar o -2 em posição (3,1).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1 para eliminar o 1 em posição (4,1).
Calculando:
R_3 + 2R_1 = (-2,5,6,3) + 2(1,1,1,1) = (0,7,8,5),
R_4 - R_1 = (1,8,8,6) - (1,1,1,1) = (0,7,7,5).
A matriz resultante A_2 é
A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 7 & 7 & 7\\[4pt] 0 & 7 & 8 & 5\\[4pt] 0 & 7 & 7 & 5 \end{pmatrix},
e vale \det(A_2)=\det(A_1) porque só usei adição de múltiplos de linhas.]

Passo 5

Para continuar, quero zerar os elementos abaixo do pivô 7 na posição (2,2). Uma maneira direta é subtrair a linha 2 das linhas 3 e 4. Essas operações também não alteram o determinante.
Faço:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2,
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Calculando:
R_3 - R_2 = (0,7,8,5) - (0,7,7,7) = (0,0,1,-2),
R_4 - R_2 = (0,7,7,5) - (0,7,7,7) = (0,0,0,-2).
A matriz agora é
A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 7 & 7 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix},
e ainda \det(A_3)=\det(A_2)=\det(A_1).]

Passo 6

Agora A_3 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares vale que o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim
\det(A_3)=1\cdot 7\cdot 1\cdot (-2) = -14.

Passo 7

Lembrando que na Passo 3 troquei as linhas R_1 e R_2, o que introduziu um sinal negativo: \det(A_1)=-\det(A). Como \det(A_3)=\det(A_1), temos
\det(A_3) = -\det(A).
Substituindo \det(A_3)=-14 obtemos
-14 = -\det(A)\quad\Rightarrow\quad \det(A)=14.

Resposta

(A) 14

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