Q1: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-1)=(1,3,-1) e T(1,0)=(0,1,3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(E) -1
(F) 0
(1) -2
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece duas imagens:
T(1,-1)=(1,3,-1).
T(1,0)=(0,1,3).
O que é pedido:
Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Em particular, identificar o valor da entrada a_{12} (linha 1, coluna 2) da matriz A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Foi dada a imagem de (1,0) e de (1,-1).
A matriz buscada tem duas colunas (pois o domínio é \mathbb{R}^2) e três linhas (pois a imagem está em \mathbb{R}^3).
Passo 2
Leitura didática do conceito que vamos usar (com exemplos): para uma transformação linear T representada na base canônica de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3, a matriz A tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica do domínio. Ou seja:
Se e_1=(1,0) e e_2=(0,1), então a primeira coluna de A é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2).
Exemplo simples: se soubesse que T(e_1)=(2,0,1) e T(e_2)=(0,1,1), então
Identificar a entrada pedida: a_{12} é a entrada da primeira linha e segunda coluna da matriz A. Observando A acima, a primeira linha, segunda coluna é -1.