Q1: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-1)=(1,3,-1) e T(1,0)=(0,1,3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(E) -1
(F) 0
(1) -2

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece duas imagens:
  • T(1,-1)=(1,3,-1).
  • T(1,0)=(0,1,3).
O que é pedido:
  • Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
  • Em particular, identificar o valor da entrada a_{12} (linha 1, coluna 2) da matriz A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Foi dada a imagem de (1,0) e de (1,-1).
  • A matriz buscada tem duas colunas (pois o domínio é \mathbb{R}^2) e três linhas (pois a imagem está em \mathbb{R}^3).

Passo 2

Leitura didática do conceito que vamos usar (com exemplos): para uma transformação linear T representada na base canônica de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3, a matriz A tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica do domínio. Ou seja:
  • Se e_1=(1,0) e e_2=(0,1), então a primeira coluna de A é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2).
Exemplo simples: se soubesse que T(e_1)=(2,0,1) e T(e_2)=(0,1,1), então
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Aqui vamos aplicar essa ideia, mas precisamos primeiro obter T(e_1) e T(e_2) a partir dos dados fornecidos.]

Passo 3

Identificar T(e_1) diretamente a partir dos dados: o vetor (1,0) é exatamente e_1. O enunciado deu
T(1,0)=(0,1,3).
Portanto já temos
T(e_1)=(0,1,3).

Passo 4

Expressar o outro vetor dado em termos de e_1 e e_2 e usar linearidade. Observamos que
(1,-1)=e_1-e_2.
Pelo princípio da linearidade (i.e., T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u)), temos
T(1,-1)=T(e_1-e_2)=T(e_1)-T(e_2).
O enunciado fornece T(1,-1)=(1,3,-1). Substituindo:
T(e_1)-T(e_2)=(1,3,-1).

Passo 5

Agora usamos o valor de T(e_1) encontrado no Passo 3 para achar T(e_2). Substituindo T(e_1)=(0,1,3) em
T(e_1)-T(e_2)=(1,3,-1),
obtemos
(0,1,3)-T(e_2)=(1,3,-1).
Isolando T(e_2):
T(e_2)=(0,1,3)-(1,3,-1).
Fazendo a subtração componente a componente:
  • primeira componente: 0-1=-1,
  • segunda componente: 1-3=-2,
  • terceira componente: 3-(-1)=3+1=4.
Portanto
T(e_2)=(-1,-2,4).

Passo 6

Montar a matriz A cujas colunas são T(e_1) e T(e_2):
A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\[4pt] 1 & -2\\[4pt] 3 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Identificar a entrada pedida: a_{12} é a entrada da primeira linha e segunda coluna da matriz A. Observando A acima, a primeira linha, segunda coluna é -1.

Resposta

(E) -1

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