(a) (1.0) Encontre todos os autovalores de A.
(b) (2.0) Encontre todos os autovetores de A linearmente independente associados aos autovalores.
(c) (1.0) Determine uma matriz ortogonal P, para o qual A=P D P^{T}, com D matriz diagonal.
Da primeira equação x_{3}=-2x_{1}\]. Substituindo na terceira:
\[x_{1}+2(-2x_{1})=x_{1}-4x_{1}=-3x_{1}=0\implies x_{1}=0.\]
Então \[x_{3}=0 e x_{2} é livre. Os vetores solução têm a forma
Observação: os três vetores v_{0},v_{-1},v_{2} são linearmente independentes (são três vetores em \mathbb{R}^{3} associados a três autovalores distintos).]
Passo 4
Para a parte (c) precisamos de uma matriz ortogonal P cujas colunas sejam vetores ortonormais (ou seja, um conjunto ortonormal) de autovetores. Como A é simétrica, existe uma base ortonormal formada por autovetores de A (teorema espectral). Aqui os autovetores que encontramos já são mutuamente ortogonais: