Questão 1 Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x, w, x+y+z, x-y-z) .
(a) (1.0) Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.
(b) (1.0) Determine uma base para a imagem de T.
(c) (1.0) A transformação T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} definida por
T(x,y,z,w)=(x,\;w,\;x+y+z,\;x-y-z).
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo de T e uma base para ele;
(b) determinar uma base para a imagem de T;
(c) dizer se T é sobrejetora e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
  • T está dada explicitamente em coordenadas padrão por ação sobre um vetor (x,y,z,w).
  • O espaço de partida e de chegada é \mathbb{R}^{4}.

Passo 2

O que é o núcleo e como calculá‑lo (aula rápida):
  • O núcleo de T, denotado \ker(T), é o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^{4} tais que T(v)=0 (o vetor nulo em \mathbb{R}^{4}).
  • Para encontrar \ker(T) escreve‑se as equações obtidas ao impor T(x,y,z,w)=(0,0,0,0) e resolve‑se o sistema linear resultante. Cada variável livre gera um parâmetro que descreve as direções do núcleo; então uma base do núcleo é dada pelos vetores correspondentes a esses parâmetros.
Aplicando isso aqui: impondo T(x,y,z,w)=(0,0,0,0) obtemos o sistema de equações (cada linha é uma componente):
\begin{cases} x = 0,\\[4pt] w = 0,\\[4pt] x+y+z = 0,\\[4pt] x-y-z = 0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema para o núcleo (passo a passo):
  • Da primeira equação temos x=0\). - Da segunda equação temos \(w=0\). - Substituindo \(x=0\) nas duas últimas: \[\begin{cases} y+z=0,\\[4pt] -\,y-z=0. \end{cases}
As duas últimas equações são a mesma condição ( y+z=0\]). Logo há uma única condição independente sobre \(y,z: y+z=0, ou seja z=-y.
Portanto os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z,w)=(0,\;y,\;-y,\;0)=y\,(0,1,-1,0).
Isto mostra que \ker(T) é uma reta (subespaço unidimensional) gerada por (0,1,-1,0).
Assim concluímos que
\ker(T)=\{\,y(0,1,-1,0)\mid y\in\mathbb{R}\,\},
e uma base para \ker(T) é o conjunto com o único vetor \{(0,1,-1,0)\}.]

Passo 4

O que é a imagem e como encontrá‑la (aula rápida):
  • A imagem de T, denotada \operatorname{Im}(T), é o subespaço de \mathbb{R}^{4} formado por todos os vetores que aparecem como T(v) para algum v.
  • Uma maneira prática de obter uma geração da imagem é aplicar T aos vetores da base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} e tomar o span dos resultados; depois elimina‑se vetores linearmente dependentes para obter uma base da imagem.
Calculemos T nas vetores canônicos:
\begin{aligned} T(e_{1})&=T(1,0,0,0)=(1,0,1,1),\\[4pt] T(e_{2})&=T(0,1,0,0)=(0,0,1,-1),\\[4pt] T(e_{3})&=T(0,0,1,0)=(0,0,1,-1),\\[4pt] T(e_{4})&=T(0,0,0,1)=(0,1,0,0). \end{aligned}
Notei que T(e_{2}) e T(e_{3}) são iguais, portanto já há redundância.
Portanto \operatorname{Im}(T) é gerado por os vetores
v_{1}=(1,0,1,1),\qquad v_{2}=(0,0,1,-1),\qquad v_{3}=(0,1,0,0).]

Passo 5

Verificar independência linear (passo a passo) para obter uma base da imagem:
Queremos ver se existem escalares a,b,c\) tais que \[a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=(0,0,0,0).
Escrevendo por componentes isso dá o sistema
\begin{cases} \text{1ª comp.: } a = 0,\\[4pt] \text{2ª comp.: } c = 0,\\[4pt] \text{3ª comp.: } a + b = 0,\\[4pt] \text{4ª comp.: } a - b = 0. \end{cases}ªªªª
Da primeira equação vem a=0\]. Da segunda \(c=0. Substituindo a=0 nas terceira e quarta temos b=0. Assim a única solução é a=b=c=0, logo os três vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
Como são independentes e geram \operatorname{Im}(T), eles formam uma base da imagem. Em particular \dim(\operatorname{Im}(T))=3.]

Passo 6

Relação entre núcleo, imagem e surjetividade (aula rápida e conclusão):
  • Teorema do Núcleo e Imagem (Rank–Nullity): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} vale
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
Aqui n=4. Encontramos \dim(\ker(T))=1, logo
\dim(\operatorname{Im}(T))=4-1=3,
o que confirma o cálculo direto anterior.
  • Sobrejetividade: T é sobrejetora se e só se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{4}. Isso ocorreria se \dim(\operatorname{Im}(T))=4. Mas \dim(\operatorname{Im}(T))=3<4, portanto T não é sobrejetora.

Resposta

(a) \ker(T)=\{\,y(0,1,-1,0)\mid y\in\mathbb{R}\,\}. Uma base é \{(0,1,-1,0)\}.
(b) Uma base para \operatorname{Im}(T) é \{(1,0,1,1),\;(0,0,1,-1),\;(0,1,0,0)\}.
(c) T não é sobrejetora, pois \dim(\operatorname{Im}(T))=3<4.

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