Questão 1 Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x, w, x+y+z, x-y-z) .
(a) (1.0) Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.
(b) (1.0) Determine uma base para a imagem de T.
(c) (1.0) A transformação T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} definida por
T(x,y,z,w)=(x,\;w,\;x+y+z,\;x-y-z).
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo de T e uma base para ele;
(b) determinar uma base para a imagem de T;
(c) dizer se T é sobrejetora e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
T está dada explicitamente em coordenadas padrão por ação sobre um vetor (x,y,z,w).
O espaço de partida e de chegada é \mathbb{R}^{4}.
Passo 2
O que é o núcleo e como calculá‑lo (aula rápida):
O núcleo de T, denotado \ker(T), é o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^{4} tais que T(v)=0 (o vetor nulo em \mathbb{R}^{4}).
Para encontrar \ker(T) escreve‑se as equações obtidas ao impor T(x,y,z,w)=(0,0,0,0) e resolve‑se o sistema linear resultante. Cada variável livre gera um parâmetro que descreve as direções do núcleo; então uma base do núcleo é dada pelos vetores correspondentes a esses parâmetros.
Aplicando isso aqui: impondo T(x,y,z,w)=(0,0,0,0) obtemos o sistema de equações (cada linha é uma componente):
\begin{cases} x = 0,\\[4pt] w = 0,\\[4pt] x+y+z = 0,\\[4pt] x-y-z = 0. \end{cases}]
Passo 3
Resolver o sistema para o núcleo (passo a passo):
Da primeira equação temos x=0\).
- Da segunda equação temos \(w=0\).
- Substituindo \(x=0\) nas duas últimas:
\[\begin{cases} y+z=0,\\[4pt] -\,y-z=0. \end{cases}
As duas últimas equações são a mesma condição (y+z=0\]). Logo há uma única condição independente sobre \(y,z: y+z=0, ou seja z=-y.
Portanto os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z,w)=(0,\;y,\;-y,\;0)=y\,(0,1,-1,0).
Isto mostra que \ker(T) é uma reta (subespaço unidimensional) gerada por (0,1,-1,0).
Assim concluímos que
\ker(T)=\{\,y(0,1,-1,0)\mid y\in\mathbb{R}\,\},
e uma base para \ker(T) é o conjunto com o único vetor \{(0,1,-1,0)\}.]
Passo 4
O que é a imagem e como encontrá‑la (aula rápida):
A imagem de T, denotada \operatorname{Im}(T), é o subespaço de \mathbb{R}^{4} formado por todos os vetores que aparecem como T(v) para algum v.
Uma maneira prática de obter uma geração da imagem é aplicar T aos vetores da base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} e tomar o span dos resultados; depois elimina‑se vetores linearmente dependentes para obter uma base da imagem.
Verificar independência linear (passo a passo) para obter uma base da imagem:
Queremos ver se existem escalares a,b,c\) tais que
\[a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=(0,0,0,0).
Escrevendo por componentes isso dá o sistema
\begin{cases} \text{1ª comp.: } a = 0,\\[4pt] \text{2ª comp.: } c = 0,\\[4pt] \text{3ª comp.: } a + b = 0,\\[4pt] \text{4ª comp.: } a - b = 0. \end{cases}ªªªª
Da primeira equação vem a=0\]. Da segunda \(c=0. Substituindo a=0 nas terceira e quarta temos b=0. Assim a única solução é a=b=c=0, logo os três vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
Como são independentes e geram \operatorname{Im}(T), eles formam uma base da imagem. Em particular \dim(\operatorname{Im}(T))=3.]
Passo 6
Relação entre núcleo, imagem e surjetividade (aula rápida e conclusão):
Teorema do Núcleo e Imagem (Rank–Nullity): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} vale
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
Aqui n=4. Encontramos \dim(\ker(T))=1, logo
\dim(\operatorname{Im}(T))=4-1=3,
o que confirma o cálculo direto anterior.
Sobrejetividade: T é sobrejetora se e só se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{4}. Isso ocorreria se \dim(\operatorname{Im}(T))=4. Mas \dim(\operatorname{Im}(T))=3<4, portanto T não é sobrejetora.
Resposta
(a) \ker(T)=\{\,y(0,1,-1,0)\mid y\in\mathbb{R}\,\}. Uma base é \{(0,1,-1,0)\}.
(b) Uma base para \operatorname{Im}(T) é \{(1,0,1,1),\;(0,0,1,-1),\;(0,1,0,0)\}.
(c) T não é sobrejetora, pois \dim(\operatorname{Im}(T))=3<4.