Calcule \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 3 & 3 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & -3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right] edet \left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & -2 & -3 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o determinante de duas matrizes 5\times5. As matrizes dadas são:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 3 & 3 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & -3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
O que devo entregar: os valores de \det(A) e \det(B).

Passo 2

Breve lembrete sobre o método que vou usar (sem assumir que já saiba): vou usar eliminação por operações elementares sobre linhas para levar cada matriz a uma forma triangular superior. Três fatos importantes sobre como essas operações afetam o determinante:
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Vou evitar escalamentos desnecessários para não ter que ajustar o determinante.)
Depois de triangularizar, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelos fatores provenientes de trocas/escalares. Vou aplicar isso passo a passo, mostrando cada operação e o efeito sobre o determinante.
Agora começo com a matriz A.

Passo 3

Escrevo as linhas de A como R_1,R_2,R_3,R_4,R_5:
R_1=(1,2,2,1,2), \quad R_2=(0,1,1,0,0), \quad R_3=(-1,3,3,1,-2), \quad R_4=(2,1,2,1,-3), \quad R_5=(1,1,1,1,1).
Usarei R_j\leftarrow fórmula para indicar a operação.
Começo eliminando as entradas abaixo de R_1 na coluna 1, usando R_1 (que já tem 1 na posição (1,1), ótimo para pivô):
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1. Calculo componente a componente: R_3' = (-1+1,\;3+2,\;3+2,\;1+1,\;-2+2)=(0,5,5,2,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1. R_4'=(2-2,\;1-4,\;2-4,\;1-2,\;-3-4)=(0,-3,-2,-1,-7).
  • R_5 \leftarrow R_5 - R_1. R_5'=(1-1,\;1-2,\;1-2,\;1-1,\;1-2)=(0,-1,-1,0,-1).
R_2 permanece igual. Essas operações de soma de linhas não alteram o determinante.
A matriz ficou:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 5 & 2 & 0 \\\\ 0 & -3 & -2 & -1 & -7 \\\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora uso R_2 (com pivô 1 na posição (2,2)) para eliminar as outras entradas na coluna 2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2: R_3'=(0,\;5-5\cdot1,\;5-5\cdot1,\;2-5\cdot0,\;0-5\cdot0)=(0,0,0,2,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2: R_4'=(0,\;-3+3\cdot1,\;-2+3\cdot1,\;-1+3\cdot0,\;-7+3\cdot0)=(0,0,1,-1,-7).
  • R_5 \leftarrow R_5 + R_2: R_5'=(0,\;-1+1,\;-1+1,\;0+0,\;-1+0)=(0,0,0,0,-1).
Essas operações também não alteram o determinante. A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Na coluna 3 vemos que R_3 tem 0 e R_4 tem 1. Para obter um pivô não nulo na posição (3,3) troco R_3 com R_4:
  • Troca R_3 \leftrightarrow R_4. Isso multiplica o determinante por -1.
Após a troca a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Agora a matriz está em forma triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal vezes o fator -1 da troca:
  • Produto diagonal: 1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot (-1) = -2.
  • Ajustando pela troca ( \times -1): \det(A)= -2 \times (-1)=2.
Portanto \det(A)=2.

Passo 6

Agora resolvo a matriz B. Faço o mesmo: escrevo as linhas R_1,\dots,R_5 inicialmente
R_1=(1,0,-1,2,1), \quad R_2=(2,1,3,1,1), \quad R_3=(2,1,3,2,1), \quad R_4=(1,0,1,1,1), \quad R_5=(2,0,-2,-3,1).
Uso R_1 (pivô 1) para zerar abaixo na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: R_2'=(2-2,\;1-0,\;3-2(-1),\;1-2\cdot2,\;1-2\cdot1)=(0,1,5,-3,-1).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1: R_3'=(2-2,\;1-0,\;3-2(-1),\;2-2\cdot2,\;1-2\cdot1)=(0,1,5,-2,-1).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1: R_4'=(1-1,\;0-0,\;1-(-1),\;1-2,\;1-1)=(0,0,2,-1,0).
  • R_5 \leftarrow R_5 - 2R_1: R_5'=(2-2,\;0-0,\;-2-2(-1),\;-3-2\cdot2,\;1-2\cdot1)=(0,0,0,-7,-1).
Essas somas/combinações não alteram o determinante. A matriz ficou
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 5 & -3 & -1 \\\\ 0 & 1 & 5 & -2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -7 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 7

Uso R_2 (pivô 1 na posição (2,2)) para zerar a entrada em (3,2):
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2: R_3'=(0,\;1-1,\;5-5,\;-2-(-3),\;-1-(-1))=(0,0,0,1,0).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 5 & -3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -7 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 8

Na coluna 3 há pivô útil em R_4 (valor 2 na posição (4,3)), enquanto R_3 tem zero nessa coluna. Para obter um pivô não nulo em (3,3) troco R_3 com R_4:
  • Troca R_3 \leftrightarrow R_4. Isso multiplica o determinante por -1.
Após a troca:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 5 & -3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -7 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 9

Agora elimino a entrada em (5,4) usando R_4 (pivô 1 na posição (4,4)):
  • R_5 \leftarrow R_5 + 7R_4: R_5'=(0,0,0,\;-7+7\cdot1,\;-1+7\cdot0)=(0,0,0,0,-1).
Operação que não muda o determinante. A matriz triangular resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 5 & -3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 10

Agora o determinante é o produto da diagonal ajustado pelo efeito da troca feita em Passo 8 (uma troca, fator -1):
  • Produto diagonal: 1\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot (-1) = -2.
  • Ajustando pela troca ( \times -1): \det(B)= -2 \times (-1)=2.
Portanto \det(B)=2.

Resposta

\det(A)=2
\det(B)=2

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