Suponha que \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=8. Encontre \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}e+h & 2 h & 3 b+e \\\ f+i & 2 i & 3 c+f \\\ d+g & 2 g & 3 a+d\end{array}\right] e \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação conhecida:
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}=8.
Pede para encontrar os determinantes de duas matrizes (vou chamá‑las de A e D):
A=\begin{pmatrix}e+h & 2 h & 3 b+e \\[4pt] f+i & 2 i & 3 c+f \\[4pt] d+g & 2 g & 3 a+d\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}d-g & 3 g & 2 a+d \\[4pt] f-i & 3 i & 2 c+f \\[4pt] e-h & 3 h & 2 b+e\end{pmatrix}.
O que será retornado na seção final são apenas os valores numéricos de \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(D), cada um em sua linha.]
Passo 2
Idéia geral (fórmula que vamos usar e por quê).
Se uma matriz X pode ser escrita como produto de matrizes X=L\cdot Y\cdot R, então vale a propriedade multiplicativa dos determinantes:
Também usaremos que \operatorname{det}(Y^T)=\operatorname{det}(Y) (determinante é invariante por transposição) e que determinante de matriz de permutação é +1 ou -1 conforme a paridade da permutação.
A estratégia: expressar cada uma das matrizes dadas como produto de uma matriz de permutação (ou transposição simples) à esquerda, vezes M^T (onde M é a matriz original), vezes uma matriz de coeficientes à direita. Assim reduzimos o problema a calcular o determinante dessa matriz de coeficientes, multiplicando pelo determinante conhecido 8 e pelo sinal da permutação.
Passo 3
Trabalhando com A. Vou relacionar as colunas de A com colunas geradas a partir das linhas originais (ou seja, colunas de M^T).
Repare que cada uma dessas colunas é um resultado de aplicar a mesma permutação cíclica (que desloca os componentes) ao somatório/combinação dos vetores R_j^T. Em particular existe a matriz de permutação P que realiza o ciclo
P:\\ (x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_2,x_3,x_1).
Essa é uma 3‑ciclo; sua paridade é par (um 3‑ciclo é produto de duas transposições), portanto \operatorname{det}(P)=+1.
A = P\cdot B,\qquad\text{com}\quad B=\bigl[\,R_2^T+R_3^T,\;2R_3^T,\;3R_1^T+R_2^T\,\bigr].
Agora escrevemos B como M^T vezes uma matriz de coeficientes S. Os vetores R_1^T,R_2^T,R_3^T são as colunas de M^T, portanto existe S tal que B=M^T S. Determinamos S lendo os coeficientes das combinações:
primeira coluna de B = 0\cdot R_1^T +1\cdot R_2^T +1\cdot R_3^T → coluna de S é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix};
segunda coluna de B = 0\cdot R_1^T +0\cdot R_2^T +2\cdot R_3^T → coluna de S é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix};
terceira coluna de B = 3\cdot R_1^T +1\cdot R_2^T +0\cdot R_3^T → coluna de S é \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Note que todas elas podem ser obtidas aplicando à esquerda a permutação que troca as componentes 2 e 3 (isto é, a matriz que faz (x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)). Denote essa matriz de permutação por U. Ela representa a transposição (2\\\ 3), que é uma transposição simples, logo \operatorname{det}(U)=-1.