Suponha que \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=8. Encontre \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}e+h & 2 h & 3 b+e \\\ f+i & 2 i & 3 c+f \\\ d+g & 2 g & 3 a+d\end{array}\right] e \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação conhecida:
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}=8.
Pede para encontrar os determinantes de duas matrizes (vou chamá‑las de A e D):
A=\begin{pmatrix}e+h & 2 h & 3 b+e \\[4pt] f+i & 2 i & 3 c+f \\[4pt] d+g & 2 g & 3 a+d\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}d-g & 3 g & 2 a+d \\[4pt] f-i & 3 i & 2 c+f \\[4pt] e-h & 3 h & 2 b+e\end{pmatrix}.
O que será retornado na seção final são apenas os valores numéricos de \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(D), cada um em sua linha.]

Passo 2

Idéia geral (fórmula que vamos usar e por quê).
  • Se uma matriz X pode ser escrita como produto de matrizes X=L\cdot Y\cdot R, então vale a propriedade multiplicativa dos determinantes:
\operatorname{det}(X)=\operatorname{det}(L)\,\operatorname{det}(Y)\,\operatorname{det}(R).
  • Também usaremos que \operatorname{det}(Y^T)=\operatorname{det}(Y) (determinante é invariante por transposição) e que determinante de matriz de permutação é +1 ou -1 conforme a paridade da permutação.
A estratégia: expressar cada uma das matrizes dadas como produto de uma matriz de permutação (ou transposição simples) à esquerda, vezes M^T (onde M é a matriz original), vezes uma matriz de coeficientes à direita. Assim reduzimos o problema a calcular o determinante dessa matriz de coeficientes, multiplicando pelo determinante conhecido 8 e pelo sinal da permutação.

Passo 3

Trabalhando com A. Vou relacionar as colunas de A com colunas geradas a partir das linhas originais (ou seja, colunas de M^T).
Defina as linhas originais como
R_1=(a,b,c),\qquad R_2=(d,e,f),\qquad R_3=(g,h,i).
Note que os vetores coluna R_1^T,R_2^T,R_3^T são as colunas de M^T.
Observe as colunas de A:
\text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}e+h\\[2pt]f+i\\[2pt]d+g\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}2h\\[2pt]2i\\[2pt]2g\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(A)=\begin{pmatrix}3b+e\\[2pt]3c+f\\[2pt]3a+d\end{pmatrix}.
Repare que cada uma dessas colunas é um resultado de aplicar a mesma permutação cíclica (que desloca os componentes) ao somatório/combinação dos vetores R_j^T. Em particular existe a matriz de permutação P que realiza o ciclo
P:\\ (x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_2,x_3,x_1).
Essa é uma 3‑ciclo; sua paridade é par (um 3‑ciclo é produto de duas transposições), portanto \operatorname{det}(P)=+1.
Com essa P podemos escrever
\text{col}_1(A)=P\bigl(R_2^T+R_3^T\bigr),\qquad \text{col}_2(A)=P\bigl(2\,R_3^T\bigr),\qquad \text{col}_3(A)=P\bigl(3\,R_1^T+R_2^T\bigr).
Logo a matriz A factoriza como
A = P\cdot B,\qquad\text{com}\quad B=\bigl[\,R_2^T+R_3^T,\;2R_3^T,\;3R_1^T+R_2^T\,\bigr].
Agora escrevemos B como M^T vezes uma matriz de coeficientes S. Os vetores R_1^T,R_2^T,R_3^T são as colunas de M^T, portanto existe S tal que B=M^T S. Determinamos S lendo os coeficientes das combinações:
  • primeira coluna de B = 0\cdot R_1^T +1\cdot R_2^T +1\cdot R_3^T → coluna de S é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix};
  • segunda coluna de B = 0\cdot R_1^T +0\cdot R_2^T +2\cdot R_3^T → coluna de S é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix};
  • terceira coluna de B = 3\cdot R_1^T +1\cdot R_2^T +0\cdot R_3^T → coluna de S é \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto
S=\begin{pmatrix}0 & 0 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=M^T S,\qquad A = P\,M^T S.]

Passo 4

Aplicando propriedades de determinante:
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(P)\,\operatorname{det}(M^T)\,\operatorname{det}(S).
Como \operatorname{det}(P)=+1 e \operatorname{det}(M^T)=\operatorname{det}(M)=8, obtemos
\operatorname{det}(A)=8\cdot\operatorname{det}(S).
Calcule \operatorname{det}(S). Usando expansão pela primeira linha (ou cálculo direto):
\operatorname{det}\begin{pmatrix}0 & 0 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix} =0\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]2&0\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]1&2\end{pmatrix}.
O único termo não nulo é o terceiro:
\det(S)=3\cdot(1\cdot 2 - 0\cdot 1)=3\cdot 2=6.
Portanto
\operatorname{det}(A)=8\cdot 6=48.]

Passo 5

Agora tratamos D. Repetimos a mesma técnica: escrevemos as colunas de D como permutação à esquerda vezes combinações das colunas de M^T.
As colunas de D são
\text{col}_1(D)=\begin{pmatrix}d-g\\[2pt]f-i\\[2pt]e-h\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(D)=\begin{pmatrix}3g\\[2pt]3i\\[2pt]3h\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(D)=\begin{pmatrix}2a+d\\[2pt]2c+f\\[2pt]2b+e\end{pmatrix}.
Note que todas elas podem ser obtidas aplicando à esquerda a permutação que troca as componentes 2 e 3 (isto é, a matriz que faz (x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)). Denote essa matriz de permutação por U. Ela representa a transposição (2\\\ 3), que é uma transposição simples, logo \operatorname{det}(U)=-1.
Verificamos que
\text{col}_1(D)=U\bigl(R_2^T-R_3^T\bigr),\quad \text{col}_2(D)=U\bigl(3R_3^T\bigr),\quad \text{col}_3(D)=U\bigl(2R_1^T+R_2^T\bigr).
Assim podemos escrever
D = U\cdot B',\qquad B'=\bigl[\,R_2^T-R_3^T,\;3R_3^T,\;2R_1^T+R_2^T\,\bigr].
Como antes B' = M^T T para uma certa matriz T. Lendo os coeficientes das combinações:
  • primeira coluna de B' = 0\cdot R_1^T +1\cdot R_2^T +(-1)\cdot R_3^T → coluna de T é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix};
  • segunda coluna de B' = 0\cdot R_1^T +0\cdot R_2^T +3\cdot R_3^T → coluna de T é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix};
  • terceira coluna de B' = 2\cdot R_1^T +1\cdot R_2^T +0\cdot R_3^T → coluna de T é \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo
T=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 0\end{pmatrix}, \qquad B' = M^T T,\qquad D = U\,M^T T.]

Passo 6

Agora o determinante:
\operatorname{det}(D)=\operatorname{det}(U)\,\operatorname{det}(M^T)\,\operatorname{det}(T) = \operatorname{det}(U)\cdot 8\cdot \operatorname{det}(T).
Calculamos \operatorname{det}(T) por expansão pela primeira linha:
\operatorname{det}\begin{pmatrix}0 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 0\end{pmatrix} =0\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]3&0\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]-1&0\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]-1&3\end{pmatrix}.
Somente o terceiro termo sobrevive:
\det(T)=2\cdot(1\cdot 3 - 0\cdot(-1))=2\cdot 3=6.
Assim
\operatorname{det}(D)=\operatorname{det}(U)\cdot 8\cdot 6 = (-1)\cdot 48 = -48,
porque \operatorname{det}(U)=-1.]

Resposta

48
-48

Exercícios relacionados