Suponha que det \left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ p & q & r \\\ u & v & w\end{array}\right]=1. Calcule det \left[\begin{array}{ccc}b+q & (x-1) q & 5 v+2 b \\\ c+r & (x-1) r & 5 w+2 c \\\ a+p & (x-1) p & 5 u+2 a\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a informação
\det\begin{pmatrix}a & b & c \\[4pt] p & q & r \\[4pt] u & v & w\end{pmatrix}=1.
Pede para calcular
\det\begin{pmatrix} b+q & (x-1) q & 5 v+2 b \\[4pt] c+r & (x-1) r & 5 w+2 c \\[4pt] a+p & (x-1) p & 5 u+2 a \end{pmatrix}.
Informações relevantes listadas:
  • Um determinante 3×3 inicial vale \;1.
  • A matriz cujo determinante queremos tem entradas que misturam linhas/colunas da matriz original (soma de elementos, fator (x-1), combinações com coeficientes 5 e 2).
  • Não há números numéricos específicos para a,b,c,\dots além da condição do determinante inicial.]

Passo 2

Vamos simplificar a forma da matriz alvo fazendo uma permutação de linhas que torne claro o que cada coluna é (isso é uma técnica comum: permutar linhas para trabalhar com combinações das linhas originais). Considero a matriz alvo como B. Faço a permutação de linhas que leva a ordem (1,2,3) em B para (3,1,2). Chamo a matriz permutada de B'. Escrever B' explicitamente:
B'= \begin{pmatrix} a+p & (x-1)p & 5u+2a \\[4pt] b+q & (x-1)q & 5v+2b \\[4pt] c+r & (x-1)r & 5w+2c \end{pmatrix}.
Observação sobre o efeito da permutação no determinante: a permutação usada é a ciclo (1\;3\;2), que é um ciclo de comprimento 3. O sinal de um ciclo de comprimento k é (-1)^{k-1}; para k=3 isso dá (-1)^{2}=+1. Logo a permutação é de sinal +1 e
\det(B)=\det(B').]

Passo 3

Agora examino as colunas de B'. Em termos das linhas da matriz original M=\begin{pmatrix}a & b & c \\\ p & q & r \\\ u & v & w\end{pmatrix} note que as linhas de M são
\text{row}_1=(a,b,c),\qquad \text{row}_2=(p,q,r),\qquad \text{row}_3=(u,v,w).
Transpondo cada linha obtemos vetores coluna
\text{row}_1^{T}=\begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix},\qquad \text{row}_2^{T}=\begin{pmatrix}p\\[2pt] q\\[2pt] r\end{pmatrix},\qquad \text{row}_3^{T}=\begin{pmatrix}u\\[2pt] v\\[2pt] w\end{pmatrix}.
Agora escrevo cada coluna de B' como combinação desses vetores:
  • Primeira coluna de B':
\begin{pmatrix}a+p\\[2pt] b+q\\[2pt] c+r\end{pmatrix} =\text{row}_1^{T}+\text{row}_2^{T}.
  • Segunda coluna de B':
\begin{pmatrix}(x-1)p\\[2pt](x-1)q\\[2pt](x-1)r\end{pmatrix} =(x-1)\,\text{row}_2^{T}.
  • Terceira coluna de B':
\begin{pmatrix}5u+2a\\[2pt]5v+2b\\[2pt]5w+2c\end{pmatrix} =2\,\text{row}_1^{T}+5\,\text{row}_3^{T}.]

Passo 4

Reescrevo B' em forma matricial usando M^{T}. Observe que a matriz M^{T} tem exatamente as colunas \text{row}_1^{T},\text{row}_2^{T},\text{row}_3^{T}. Escrevo
B' = M^{T}\,K,
onde K é a matriz dos coeficientes que transforma as colunas bases \{\text{row}_1^{T},\text{row}_2^{T},\text{row}_3^{T}\} nas colunas de B'. Pelas combinações do passo anterior, as colunas de K são
\text{col}_1(K)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(K)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]x-1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{col}_3(K)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Assim
K= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\[4pt] 1 & x-1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Uso propriedades dos determinantes: \det(M^{T})=\det(M) e \det(AB)=\det(A)\det(B). Da decomposição B'=M^{T}K segue
\det(B')=\det(M^{T})\det(K)=\det(M)\det(K).
Pelo enunciado \det(M)=1, então
\det(B')=\det(K).
Como já vimos \det(B)=\det(B'), temos \det(B)=\det(K). Portanto basta calcular \det(K).

Passo 6

Calculo \det(K). A matriz K é triangular na terceira linha/coluna (só o elemento (3,3) da terceira coluna é não nulo na terceira linha), então é simples expandir:
expansão pela terceira linha (ou observar submatriz 2×2 no bloco superior esquerdo):
\det(K)=5\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & x-1\end{pmatrix}.
Calculo do determinante do 2×2:
\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & x-1\end{pmatrix}=1\cdot(x-1)-0\cdot1=x-1.
Logo
\det(K)=5(x-1).]

Resposta

5(x-1)

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