Suponha que det \left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ p & q & r \\\ u & v & w\end{array}\right]=1. Calcule det \left[\begin{array}{ccc}b+q & (x-1) q & 5 v+2 b \\\ c+r & (x-1) r & 5 w+2 c \\\ a+p & (x-1) p & 5 u+2 a\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá a informação
\det\begin{pmatrix}a & b & c \\[4pt] p & q & r \\[4pt] u & v & w\end{pmatrix}=1.
Pede para calcular
\det\begin{pmatrix} b+q & (x-1) q & 5 v+2 b \\[4pt] c+r & (x-1) r & 5 w+2 c \\[4pt] a+p & (x-1) p & 5 u+2 a \end{pmatrix}.
Informações relevantes listadas:
Um determinante 3×3 inicial vale \;1.
A matriz cujo determinante queremos tem entradas que misturam linhas/colunas da matriz original (soma de elementos, fator (x-1), combinações com coeficientes 5 e 2).
Não há números numéricos específicos para a,b,c,\dots além da condição do determinante inicial.]
Passo 2
Vamos simplificar a forma da matriz alvo fazendo uma permutação de linhas que torne claro o que cada coluna é (isso é uma técnica comum: permutar linhas para trabalhar com combinações das linhas originais). Considero a matriz alvo como B. Faço a permutação de linhas que leva a ordem (1,2,3) em B para (3,1,2). Chamo a matriz permutada de B'. Escrever B' explicitamente:
Observação sobre o efeito da permutação no determinante: a permutação usada é a ciclo (1\;3\;2), que é um ciclo de comprimento 3. O sinal de um ciclo de comprimento k é (-1)^{k-1}; para k=3 isso dá (-1)^{2}=+1. Logo a permutação é de sinal +1 e
\det(B)=\det(B').]
Passo 3
Agora examino as colunas de B'. Em termos das linhas da matriz original M=\begin{pmatrix}a & b & c \\\ p & q & r \\\ u & v & w\end{pmatrix} note que as linhas de M são
Reescrevo B' em forma matricial usando M^{T}. Observe que a matriz M^{T} tem exatamente as colunas \text{row}_1^{T},\text{row}_2^{T},\text{row}_3^{T}. Escrevo
B' = M^{T}\,K,
onde K é a matriz dos coeficientes que transforma as colunas bases \{\text{row}_1^{T},\text{row}_2^{T},\text{row}_3^{T}\} nas colunas de B'. Pelas combinações do passo anterior, as colunas de K são
Uso propriedades dos determinantes: \det(M^{T})=\det(M) e \det(AB)=\det(A)\det(B). Da decomposição B'=M^{T}K segue
\det(B')=\det(M^{T})\det(K)=\det(M)\det(K).
Pelo enunciado \det(M)=1, então
\det(B')=\det(K).
Como já vimos \det(B)=\det(B'), temos \det(B)=\det(K). Portanto basta calcular \det(K).
Passo 6
Calculo \det(K). A matriz K é triangular na terceira linha/coluna (só o elemento (3,3) da terceira coluna é não nulo na terceira linha), então é simples expandir:
expansão pela terceira linha (ou observar submatriz 2×2 no bloco superior esquerdo):