Mostre que, se B for uma matriz de ordem n singular, então A B também será uma matriz singular, qualquer que seja a matriz A de ordem n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz quadrada B de ordem n é singular (isto é, não invertível), então, para qualquer matriz quadrada A de mesma ordem, o produto AB também é singular. O que vamos usar é a definição de matriz singular em termos de núcleo (ou espaço nulo): uma matriz é singular se e somente se existe vetor não-nulo que é levado ao vetor zero.

Passo 2

Como B é singular, pela definição existe um vetor \displaystyle x\neq 0 em \mathbb{R}^n tal que
B x = 0.
Esse vetor x está no núcleo de B.

Passo 3

Agora considere o produto AB. Aplicando-o ao mesmo vetor x, obtemos
(AB)\,x = A\,(B x) = A\,0 = 0.
Como x\neq 0 e (AB)x=0, isso mostra que AB também tem núcleo não trivial, logo AB é singular.

Resposta

O produto AB é singular.

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