Mostre que, se
for uma matriz de ordem
singular, então
também será uma matriz singular, qualquer que seja a matriz
de ordem
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz quadrada
de ordem
é singular (isto é, não invertível), então, para qualquer matriz quadrada
de mesma ordem, o produto
também é singular. O que vamos usar é a definição de matriz singular em termos de núcleo (ou espaço nulo): uma matriz é singular se e somente se existe vetor não-nulo que é levado ao vetor zero.
Passo 2
Como
é singular, pela definição existe um vetor
em
tal que
Esse vetor
está no núcleo de
.
Passo 3
Agora considere o produto
. Aplicando-o ao mesmo vetor
, obtemos
Como
e
, isso mostra que
também tem núcleo não trivial, logo
é singular.
Resposta
O produto
é singular.