Usando propriedades de determinante, calcule det \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 5 & 6 & 7 \\\\ 0 & 8 & 1 & 9 \\\\ 1 & 2 & 8 & 7\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 5 & 6 & 7\\\\ 0 & 8 & 1 & 9\\\\ 1 & 2 & 8 & 7 \end{pmatrix}
usando propriedades de determinante. Vamos aplicar operações elementares do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra”, que não alteram o valor de \det(A), para reduzir A a uma forma triangular.

Passo 2

Primeiro, zere as posições (2,1) e (4,1):
R _2 \leftarrowR _2 -2,R _1 e
R _4 \leftarrowR _4 -R _1.
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 8 & 1 & 9\\\\ 0 & 0 & 5 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora, zere as posições (3,2) e (4,3) em sequência:
R _3 \leftarrowR _3 -8,R _2
\bigl(0\;0\;1\;17\bigr), e
R _4 \leftarrowR _4 -5,R _3
\bigl(0\;0\;0\;-82\bigr).
O resultado é a matriz triangular
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 17\\\\ 0 & 0 & 0 & -82 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
\det(A) = 1 \times 1 \times 1 \times (-82) = -82.

Resposta

-82

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