A partir da matriz de cofatores, determine a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cc}3 & 4 \\\\ -2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}
usando a matriz de cofatores. Para isso precisamos calcular o determinante de A, em seguida montar a matriz de cofatores, transpor essa matriz (obtendo a adjunta ou adjugata) e, por fim, usar
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).

Passo 2

Calculamos o determinante de A por
\det(A) = 3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) = 3 + 8 = 11.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C. Cada cofatôr C_{ij} é dado por
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é o menor correspondente:
C_{11} = (+1)\det\bigl([1]\bigr)=1, \quad C_{12} = (-1)\det\bigl([-2]\bigr)=2,
C_{21} = (-1)\det\bigl([4]\bigr)=-4, \quad C_{22} = (+1)\det\bigl([3]\bigr)=3.
Logo,
C = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -4 & 3\end{pmatrix}.
A adjugata é a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix}1 & -4 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inversa:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{pmatrix}1 & -4 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix}1 & -4 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.

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